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(1)

)

(3).

Y

/

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

F

X

)

g

)

,

F

X

/

h

f

i

k

(

L

[ f

(

l

;

Y

)

g

)

, 9

x

2

X

:

x

/

h

f

i

k

(

L

[ f

(

l

;

Y

)

g

)

, 9

x

2

X

:

Y

/

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

)

,

Y

/

F

x

2

X

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

)

for every principal

Y

.

18.4 Identity staroids and multifuncoids

18.4.1 Identity relations

Denote id

A

[

n

]

=

f

(

i

2

n

:

x

)

j

x

2

A

g

=

f

n

 f

x

g j

x

2

A

g

the

n

-ary identity relation on a set

A

(for

each index set

n

).

Proposition 18.34.

Q

X

/

id

A

[

n

]

,

T

i

2

n

X

i

\

A

=

/

;

.

Proof.

Q

X

/

id

A

[

n

]

, 9

t

2

A

:

n

 f

t

g 2

Q

X

, 9

t

2

A

8

i

2

n

:

t

2

X

i

,

T

i

2

n

X

i

\

A

=

/

;

.

18.4.2 General denitions of identity staroids

Consider a ltrator

(

A

;

Z

)

and

A 2

A

.

I will dene below

small identity staroids

id

A

[

n

]

Strd

and

big identity staroids

ID

A

[

n

]

Strd

. That they are

really staroids and even completary staroids (under certain conditions) is proved below.

Denition 18.35.

Consider a ltrator

(

A

;

Z

)

. Let

Z

be a complete lattice. Let

A 2

A

, let

n

be an

index set.

form id

A

[

n

]

Strd

=

Z

n

;

L

2

GR id

A

[

n

]

Strd

,

d

i

2

n

Z

L

i

2

@

A

.

Obvious 18.36.

X

2

GR id

A

[

n

]

Strd

, 8

A

2

up

A

:

d

i

2

n

Z

X

i

u

A

=

/ 0

if our ltrator is with separable core.

Denition 18.37.

The subset

X

of a poset

A

has a nontrivial lower bound

(I denote this predicate

as MEET

(

X

)

) i there is nonleast

a

2

A

such that

8

x

2

X

:

a

v

x

.

Denition 18.38.

Staroid ID

A

[

n

]

Strd

(for any

A 2

A

where

A

is a poset) is dened by the formulas:

form ID

A

[

n

]

Strd

=

A

n

;

L 2

GR ID

A

[

n

]

Strd

,

MEET

(

fL

i

j

i

2

n

g [ fAg

)

.

Obvious 18.39.

If

A

is complete lattice, then

L 2

GR ID

A

[

n

]

Strd

,

d

/

A

.

Obvious 18.40.

If

A

is complete lattice and

a

is an atom, then

L 2

GR ID

a

[

n

]

Strd

,

d

L w

a

.

Obvious 18.41.

If

A

is a complete lattice then there exists a multifuncoid

ID

A

[

n

]

Strd

such that

ID

A

[

n

]

Strd

k

L

=

d

i

2

n

L

i

u A

for every

k

2

n

,

L

2

A

n

nf

k

g

.

Proposition 18.42.

If

(

A

;

Z

)

is a meet-closed ltrator and

Z

is a complete lattice and

A

is a meet-

semilattice. There exists a multifuncoid

id

A

[

n

]

Strd

such that

id

A

[

n

]

Strd

k

L

=

d

i

2

n

Z

L

i

u

A

A

for every

k

2

n

,

L

2

Z

n

nf

k

g

.

Proof.

We need to prove that

L

[ f

(

k

;

X

)

g 2

id

A

[

n

]

Strd

,

d

i

2

n

Z

L

i

u

A

/

A

X

. But

l

i

2

n

Z

L

i

u

A

/

A

X

,

l

i

2

n

Z

L

i

u

A

X

/

A

A ,

l

i

2

n

Z

(

L

[ f

(

k

;

X

)

g

)

i

/

A

A ,

L

[ f

(

k

;

X

)

g 2

id

A

[

n

]

Strd

:

18.4.3 Identities are staroids

Proposition 18.43.

Let

A

be a complete distributive lattice and

A 2

A

. Then ID

A

[

n

]

Strd

is a staroid.

246

Identity staroids