background image

Proof.

1.

F

Z

T

2

S

,

F

Z

T

2

S

,

F

A

T

2

S

,

T

\

S

=

/

; ,

T

\

S

=

/

;

for every

T

2

P

Z

;

0

2

/

S

is

obvious.

2. There exists a principal lter

F

such that

S

=

@

F

.

F

A

T

2

S

,

up

F

A

T

2

S

, 8

K

2

up

F

A

T

:

K

2

@

F , 8

K

2

up

F

A

T

:

K

/

F ,

F

A

T

/

F ,

F

A

T

2

?

F , 9K 2

T

:

K 2

?

F , 9K 2

T

:

/

F , 9K 2

T

8

K

2

up

K

:

K

/

F , 9K 2

T

8

K

2

up

K

:

K

2

@

F , 9K 2

T

:

up

S

, 9K 2

T

:

K 2

S

,

T

\

S

=

/

;

.

0

2

S

,

up

0

S

,

0

2

S

what is false.

Corollary 18.28.

If

S

is a complete free star on

F

then

S

is a complete free star on

P

, provided

that

Z

is a complete lattice.

18.3.3 Complete staroids and multifuncoids

Denition 18.29.

Consider an indexed family

Z

of posets. A pre-staroid

f

of the form

Z

is

com-

plete

in argument

k

2

arity

f

when

(

val

f

)

k

L

is a complete free star for every

L

2

Q

i

2

(

arity

f

)

nf

k

g

Z

i

.

Denition 18.30.

Consider an indexed family

(

A

i

;

Z

i

)

of ltrators and pre-multifuncoid

f

is

of the form

Q

Z

. Then

f

is

complete

in argument

k

2

arity

f

i

h

f

i

k

L

2

Z

k

for every family

L

2

Q

i

2

(

arity

f

)

nf

k

g

Z

i

.

Proposition 18.31.

Consider an indexed family

(

F

i

;

Z

i

)

of primary ltrators over boolean lattices.

Let

f

be a pre-multifuncoid of the form

F

and

k

2

arity

f

. The following are equivalent:

1. Pre-multifuncoid

f

is complete in argument

k

.

2. Pre-staroid

[

f

]

is complete in argument

k

.

Proof.

Let

L

2

Q

Z

. We have

L

2

GR

[

f

]

,

L

i

/

h

f

i

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

;

(

val

[

f

])

k

L

=

@

h

f

i

k

L

by the theorem

17.81

.

So

(

val

[

f

])

k

L

is a complete free star i

h

f

i

k

L

2

Z

k

(proposition

18.22

for every

L

2

Q

i

2

(

arity

f

)

nf

k

g

Z

i

.

Example 18.32.

Consider funcoid

f

=

id

FCD

(

U

)

. It is obviously complete in each its two arguments.

Then

[

f

]

is not complete in each of its two arguments because

(

X

;

Y

)

2

[

f

]

,X 

/

Y

what does not

generate a complete free star if one of the arguments (say

X

) is a xed nonprincipal lter.

Theorem 18.33.

Consider a semiltered, star-separable, down-aligned ltrator

(

A

;

Z

)

with nitely

meet closed and separable core where

Z

is a complete boolean lattice and both

Z

and

A

are atomistic

lattices.

Let

f

be a multifuncoid of the aforementioned form. Let

k; l

2

arity

f

and

k

=

/

l

. The following

are equivalent:

1.

f

is complete in the argument

k

.

2.

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

F

X

)

g

) =

F

x

2

X

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

)

for every

X

2

P

Z

k

,

L

2

Q

i

2

(

arity

f

)

nf

k;l

g

Z

i

.

3.

h

f

i

l

(

L

[f

(

k

;

F

X

)

g

) =

F

x

2

X

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

)

for every

X

2

P

A

k

,

L

2

Q

i

2

(

arity

f

)

nf

k;l

g

Z

i

.

Proof.

(3)

)

(2).

Obvious.

(2)

)

(1).

Let

Y

2

Z

.

F

X

/

h

f

i

k

(

L

[ f

(

l

;

Y

)

g

)

,

Y

/

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

F

X

)

g

)

,

Y

/

F

x

2

X

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

)

,

(proposition

4.144

)

,9

x

2

X

:

Y

/

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

)

, 9

x

2

X

:

x

/

h

f

i

k

(

L

[

(

l

;

Y

))

.

It is equivalent (proposition

18.22

and the fact that

[

f

]

is an upper set) to

h

f

i

k

(

L

[ f

(

l

;

Y

)

g

)

being a principal lter and thus

(

val

[

f

])

l

L

being a complete free star.

18.3 Complete staroids and multifuncoids

245