 2.

F

T

2

S

)

T

\

S

=

/

;

for every

T

2

P

S

.

3.

S

is an upper set.

Proof.

)

.

We need to prove only

F

T

2

S

)

T

\

S

=

/

;

. Let

F

T

2

S

. Because

S

is an upper set, we

have

8

X

2

T

:

Z

w

X

)

Z

w

F

T

)

Z

2

S

from which we conclude

T

\

S

=

/

;

.

(

.

We need to prove only

8

Z

2

A

: (

8

X

2

T

:

Z

w

X

)

Z

2

S

)

)

T

\

S

=

/

;

.

Really, if

8

Z

2

A

: (

8

X

2

T

:

Z

w

X

)

Z

2

S

)

then

F

T

2

S

and thus

F

T

2

S

)

T

\

S

=

/

;

.

Proposition 18.13.

Let

A

be a complete lattice.

S

2

P

A

is a complete free star i the least

element (if it exists) is not in

S

and for every

T

2

P

A

G

T

2

S

,

T

\

S

=

/

;

:

Proof.

)

.

We need to prove only

F

T

2

S

(

T

\

S

=

/

;

what follows from that

S

is an upper set.

(

.

We need to prove only that

S

is an upper set. To prove this we can use the fact that

S

is

a free star.

18.3.1.1 Completely starrish posets

Denition 18.14.

I will call a poset

completely starrish

when the full star

? a

is a complete free

star for every element

a

of this poset.

Obvious 18.15.

Every completely starrish poset is starrish.

Proposition 18.16.

Every complete join innite distributive lattice is starrish.

Proof.

Let

A

be a join innite distributive lattice,

a

2

A

. Obviously

0

2

/

?a

(if

0

exists); obviously

? a

is an upper set. If

F

T

2

?a

, then

(

F

T

)

u

a

is non-least that is

F

h

a

u i

T

is non-least what is

equivalent to

a

u

x

being non-least for some

x

2

T

that is

x

2

? a

.

Theorem 18.17.

If

A

is a completely starrish complete lattice lattice then

atoms

G

T

=

[

h

atoms

i

T :

for every

T

2

P

A

.

Proof.

For every atom

c

we have:

c

2

atoms

F

T

,

c

/

F

T

,

F

T

2

? c

, 9

X

2

T

:

X

2

? c

, 9

X

2

T

:

X

/

c

, 9

X

2

T

:

c

2

atoms

X

,

c

2

S

h

atoms

i

T

.

18.3.2 More on free stars and complete free stars

Obvious 18.18.

@

F

=

?

F

for an element

F

of down-aligned nitely meet closed ltrator.

Corollary 18.19.

@

F

=

?

F

for every lter

F

on a poset.

Proposition 18.20.

?

F

=

@

F

for an element

F

of a ltrator with separable core.

Proof.

X 2

@

F ,

up

@

F , 8

X

2

up

X

:

X

/

F , X

/

F , X 2

?

F

.

Corollary 18.21.

?

F

=

@

F

for every lter

F

on a distributive lattice with least element.

Proposition 18.22.

For a semiltered, star-separable, down-aligned ltrator

(

A

;

Z

)

with nitely

meet closed and separable core where

Z

is a complete boolean lattice and both

Z

and

A

are atomistic

lattices the following conditions are equivalent for any

F 2

A

:

1.

F 2

Z

.

18.3 Complete staroids and multifuncoids

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