background image

and

g

=

f

[ f

(

X

;

Y

)

j X 2

F

(

A

)

;

Y 2

F

(

B

)

;

X w

a;

Y w

b

g

where

a

and

b

are nontrivial ultralters on

A

and

B

correspondingly,

c

is the funcoid dened by

the relation

[

c

]

=

=

f

(

X

;

Y

)

j

X

2

P

A; Y

2

P

B ; X

and

Y

are innite

g

:

First prove that

f

is a pseudofuncoid. The formulas

:

(

I f

0)

and

:

(0

f I

)

are obvious. We have

I t J

f

K ,

T

(

I t J

)

and

T

Y

are innite

,

T

I [

T

J

and

T

Y

are innite

,

(

T

I

or

T

J

is

innite

)

^

T

Y

is innite

,

(

T

I

and

T

Y

are innite

)

_

(

T

J

and

T

Y

are innite

)

,I

f

K _ J

f

K

.

Similarly

K

f

I t J , K

f

I _ K

f

J

. So

f

is a pseudofuncoid.

Let now prove that

g

is a pseudofuncoid. The formulas

:

(

I g

0)

and

:

(0

g I

)

are obvious. Let

I t J

g

K

. Then either

I t J

f

K

and then

I t J

g

K

or

I t J w

a

and then

I w

a

_ J w

a

thus

having

I

g

K _ J

g

K

. So

I t J

g

K ) I

g

K _ J

g

K

. The reverse implication is obvious. We have

I t J

g

K , I

g

K _ J

g

K

and similarly

K

g

I t J , K

g

I _ K

g

J

. So

g

is a pseudofuncoid.

Obviously

f

=

/

g

(

a g b

but not

a f b

).

It remains to prove

f

\

(

P

P

) =

g

\

(

P

P

) = [

c

]

\

(

P

P

)

. Really,

f

\

(

P

P

) = [

c

]

\

(

P

P

)

is obvious. If

(

"

A

X

;

"

B

Y

)

2

g

\

(

P

P

)

then either

(

"

A

X

;

"

B

Y

)

2

f

\

(

P

P

)

or

X

2

up

a

,

Y

2

up

b

,

so

X

and

Y

are innite and thus

(

"

A

X

;

"

B

Y

)

2

f

\

(

P

P

)

. So

g

\

(

P

P

) =

f

\

(

P

P

)

.

Remark 18.8.

The above counter-example shows that pseudofuncoids (and more generally, any

staroids on lters) are second class objects, they are not full-edged because they don't bijectively
correspond to funcoids and the elegant funcoids theory does not apply to them.

From the above it follows that staroids on lters do not correspond (by restriction) to staroids

on principal lters (or staroids on sets).

18.3 Complete staroids and multifuncoids

18.3.1 Complete free stars

Denition 18.9.

Let

A

be a poset.

Complete free stars

on

A

are such

S

2

P

A

that the least

element (if it exists) is not in

S

and for every

T

2

P

A

8

Z

2

A

: (

8

X

2

T

:

Z

w

X

)

Z

2

S

)

,

T

\

S

=

/

;

:

Obvious 18.10.

Every complete free star is a free star.

Proposition 18.11.

S

2

P

A

where

A

is a poset is a complete free star i all the following:

1. The least element (if it exists) is not in

S

.

2.

8

Z

2

A

: (

8

X

2

T

:

Z

w

X

)

Z

2

S

)

)

T

\

S

=

/

;

.

3.

S

is an upper set.

Proof.

)

.

(1) and (2) are obvious.

S

is an upper set because

S

is a free star.

(

.

We need to prove that

8

Z

2

A

: (

8

X

2

T

:

Z

w

X

)

Z

2

S

)

(

T

\

S

=

/

;

:

Let

X

0

2

T

\

S

. Then

8

X

2

T

:

Z

w

X

)

Z

w

X

0

)

Z

2

S

because

S

is an upper set.

Proposition 18.12.

Let

S

be a complete lattice.

S

2

P

A

is a complete free star i all the following:

1. The least element (if it exists) is not in

S

.

242

Identity staroids