Chapter 18
Identity staroids

Proposition 18.1.

h

f

i

k

X

j

X

2

up

Q

i

2

n

nf

k

g

A

i

;

Q

i

2

n

nf

k

g

Z

i

X

is a lter base on

A

k

for every

family

(

A

i

;

Z

i

)

of ltrators where

i

2

n

for some index set

n

(provided that

f

is a multifuncoid of

the form

Z

and

k

2

n

and

X 2

Q

i

2

n

nf

k

g

A

i

).

Proof.

Let

K

;

L 2 fh

f

i

k

X

j

X

2

up

X g

. Then there exist

X ; Y

2

up

X

such that

K

=

h

f

i

k

X

,

L

=

h

f

i

k

Y

. We can take

Z

2

up

X

such that

Z

v

X ; Y

. Then evidently

h

f

i

k

Z

v K

and

h

f

i

k

Z

v L

and

h

f

i

k

Z

2 fh

f

i

k

X

j

X

2

up

X g

.

[FIXME: The following proposition seems erroneous and even a nonsense because of dierence

between

h

f

i

and

h

f

i

. Should remove it after checking that nothing below depends on it. (Check

again.)]

Proposition 18.2.

h

f

i

k

X

=

d

X

2

up

X

h

f

i

k

X

for a ltrator

Q

i

2

n

nf

k

g

F

i

;

Q

i

2

n

nf

k

g

P

i

(

i

2

n

for some index set

n

) where every

Z

i

is a boolean lattice,

k

2

n

, and

X 2

Q

i

2

n

nf

k

g

F

i

.

Proof.

F

k

is separable by obvious

4.136

.

(

F

k

;

P

k

)

is with separable core by theorem

4.112

.

/

h

f

i

i

X , X [ f

(

i

;

Y

)

g 2

GR

[

f

]

,X [ f

(

i

;

Y

)

g 2

GR

[

f

]

,

up

(

X [ f

(

i

;

Y

)

g

)

GR

[

f

]

,

8

X

2

up

X

; Y

2

up

Y

:

X

[ f

(

i

;

Y

)

g 2

GR

[

f

]

,8

X

2

up

X

; Y

2

up

Y

:

Y

/

h

f

i

i

X

, 8

X

2

up

X

;

Y

2

up

Y

:

Y

u h

f

i

i

X

=

/ 0

, 8

Y

2

up

Y

: 0

2

/

f

Y

u h

f

i

i

X

j

X

2

up

X g , 8

Y

2

up

Y

:

0

2

/

h

Y

u ifh

f

i

i

X

j

X

2

up

X g ,

(by properties of generalized lter bases)

,8

Y

2

up

Y

:

d

h

Y

u ifh

f

i

i

X

j

X

2

up

X g

=

/ 0

, 8

Y

2

up

Y

:

Y

u

d

fh

f

i

i

X

j

X

2

up

X g

=

/ 0

, 8

Y

2

up

Y

:

Y

/

d

X

2

up

X

h

f

i

i

X

, Y

/

d

X

2

up

X

h

f

i

i

X

; so

h

f

i

i

X

=

d

X

2

up

X

h

f

i

i

X

.

18.2 On pseudofuncoids

Denition 18.3.

Pseudofuncoid

from a set

A

to a set

B

is a relation

f

between lters on

A

and

B

such that:

:

(

I f

0)

;

I t J

f

K , I

f

K _ J

f

K

(for every

I

;

J 2

F

(

A

)

,

K 2

F

(

B

)

)

;

:

(0

f I

)

;

K

f

I t J , K

f

I _ K

f

J

(for every

I

;

J 2

F

(

B

)

,

K 2

F

(

A

)

)

:

Obvious 18.4.

Pseudofuncoid is just a staroid of the form

(

F

(

A

);

F

(

B

))

.

Obvious 18.5.

[

f

]

is a pseudofuncoid for every funcoid

f

.

Example 18.6.

If

A

and

B

are innite sets, then there exist two dierent pseudofuncoids

f

and

g

from

A

to

B

such that

f

\

(

P

P

) =

g

\

(

P

P

) = [

c

]

\

(

P

P

)

for some funcoid

c

.

Remark 18.7.

Considering a pseudofuncoid

f

as a staroid, we get

f

\

(

P

P

) =

f

.

Proof.

Take

f

=

(

X

;

Y

)

j X 2

F

(

A

)

;

Y 2

F

(

B

)

;

\

X

and

\

Y

are innite

241