background image

Remark 2.81.

This denition is valid even for posets without least element.

I will denote

(

atoms

A

a

)

or just

(

atoms

a

)

the set of atoms contained in an element

a

of a poset

A

. I will denote atoms

A

the set of all atoms of a poset

A

.

Denition 2.82.

A poset

A

is called

atomic

i atoms

a

=

/

;

for every non-least element

a

of the

poset

A

.

Denition 2.83.

Atomistic poset

is such a poset that

a

=

F

atoms

a

for every non-least element

a

of this poset.

Obvious 2.84.

Every atomistic poset is atomic.

Proposition 2.85.

Let

A

be a poset. If

a

is an atom of

A

and

B

2

A

then

a

v

B

,

a

/

B

.

Proof.

)

.

a

v

B

)

a

v

a

^

a

v

B

, thus

a

/

B

because

a

is not least.

(

.

a

/

B

implies existence of non-least element

x

such that

x

v

B

and

x

v

a

. Because

a

is an

atom, we have

x

=

a

. So

a

v

B

.

Theorem 2.86.

atoms

d

S

=

T

h

atoms

i

S

whenever

d

S

is dened for every

S

2

P

A

where

A

is

a poset.

Proof.

For any atom

c

c

2

atoms

l

S

,

c

v

l

S

,

8

a

2

S

:

c

v

a

,

8

a

2

S

:

c

2

atoms

a

,

c

2

\

h

atoms

i

S:

Corollary 2.87.

atoms

(

a

u

b

) =

atoms

a

\

atoms

b

for an arbitrary meet-semilattice.

Theorem 2.88.

A complete boolean lattice is atomic i it is atomistic.

Proof.

(

.

Obvious.

)

.

Let

A

be an atomic boolean lattice. Let

a

2

A

. Suppose

b

=

F

atoms

a

@

a

. If

x

2

atoms

(

a

n

b

)

then

x

v

a

n

b

and so

x

v

a

and hence

x

v

b

. But we have

x

=

x

u

b

v

(

a

n

b

)

u

b

= 0

what

contradicts to our supposition.

2.1.11 Kuratowski's lemma

Theorem 2.89.

(Kuratowski lemma) Any chain in a poset is contained in a maximal chain (if we

order chains by inclusion).

I will skip the proof of Kuratowski lemma as this proof can be found in any set theory or order

theory reference.

2.1.12 Homomorphisms of posets and lattices

Denition 2.90.

A

monotone

function (also called

order homomorphism

) from a poset

A

to a

poset

B

is such a function

f

that

x

v

y

)

fx

v

fy

.

24

Common knowledge, part 1