background image

Conjecture 17.233.

There exists a non-completary staroid.

Conjecture 17.234.

There exists a prestaroid which is not a staroid.

Conjecture 17.235.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomic.

Conjecture 17.236.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomistic.

Conjecture 17.237.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is

atomic.

Conjecture 17.238.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is

atomistic.

Example 17.239.

StarComp

(

a

;

f

t

g

) =

/

StarComp

(

a

;

f

)

t

StarComp

(

a

;

g

)

in the category of

binary relations with star-morphisms for some

n

-ary relation

a

and an

n

-indexed families

f

and

g

of functions.

Proof.

Let

n

=

f

0

;

1

g

. Let GR

a

=

f

(0; 1)

;

(1; 0)

g

and

f

=

J

f

(0; 1)

g

;

f

(1; 0)

g

K

,

g

=

J

f

(1; 0)

g

;

f

(0; 1)

g

K

.

For every

f

0

;

1

g

-indexed family of

of functions:

L

2

StarComp

(

a

;

)

, 9

y

2

a

: (

y

0

0

L

0

^

y

1

1

L

1

)

, 9

y

0

2

dom

0

; y

1

2

dom

1

:

(

y

0

0

L

0

^

y

1

1

L

1

)

for every

n

-ary relation

.

Consequently

L

2

StarComp

(

a

;

f

)

,

L

0

= 1

^

L

1

= 0

,

L

= (0; 1)

that is StarComp

(

a

;

f

) =

f

(1; 0)

g

. Similarly

StarComp

(

a

;

g

) =

f

(0; 1)

g

.

Also

L

2

StarComp

(

a

;

f

t

g

)

, 9

y

0

; y

1

2 f

0

;

1

g

: ((

y

0

f

0

L

0

_

y

0

g

0

L

0

)

^

(

y

1

f

1

L

1

_

y

1

g

1

L

1

))

:

Thus

StarComp

(

a

;

f

t

g

) =

f

(0; 1)

;

(1; 0)

;

(0; 0)

;

(1; 1)

g

:

Corollary 17.240.

The above inequality is possible also for star-morphisms of funcoids and star-

morphisms of reloids.

Proof.

Because nitary funcoids and reloids between nite sets are essentially the same as nitary

relations and our proof above works for binary relations.

17.18 Conjectures

Remark 17.241.

Below I present special cases of possible theorems. The theorems may be

generalized after the below special cases are proved.

Conjecture 17.242.

For every two funcoids

f

and

g

we have:

1.

(

RLD

)

in

a

f

(

DP

)

g

(

RLD

)

in

b

,

a

f

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

2

FCD

(

Src

f

;

Src

g

)

,

b

2

FCD

(

Dst

f

;

Dst

g

)

;

2.

(

RLD

)

out

a

f

(

DP

)

g

(

RLD

)

out

b

,

a

f

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

2

FCD

(

Src

f

;

Src

g

)

,

b

2

FCD

(

Dst

f

;

Dst

g

)

;

3.

(

FCD

)

a

f

(

C

)

g

(

FCD

)

b

,

a

f

(

DP

)

g

b

for every reloids

a

2

RLD

(

Src

f

;

Src

g

)

,

b

2

RLD

(

Dst

f

;

Dst

g

)

.

Conjecture 17.243.

For every two funcoids

f

and

g

we have:

[TODO: Haven't yet tried hard to

solve this. Compare theorem

17.220

as a special case.]

1.

(

RLD

)

in

a

f

(

A

)

g

(

RLD

)

in

b

,

a

f

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

2

FCD

(

Src

f

;

Src

g

)

,

b

2

FCD

(

Dst

f

;

Dst

g

)

;

238

Multifuncoids and staroids