background image

x

u

F

S

w

F

h

x

u i

S

is obvious. Now let

u

be any upper bound of

h

x

u i

S

, that is

x

u

y

v

u

for

all

y

2

S

. Then

y

=

y

u

(

x

t

x

) = (

y

u

x

)

t

(

y

u

x

)

v

u

t

x

;

and so

F

S

v

u

t

x

. Thus

x

u

G

S

v

x

u

(

u

t

x

) = (

x

u

u

)

t

(

x

u

x

) = (

x

u

u

)

t

0 =

x

u

u

v

u;

that is

x

u

F

S

is the least upper bound of

h

x

u i

S

.

Theorem 2.71.

(innite De Morgan's laws) For every subset

S

of a complete boolean lattice

1.

F

S

=

d

x

2

S

x

;

2.

d

S

=

F

x

2

S

x

.

Proof.

It's enough to prove that

F

S

is a complement of

d

x

2

S

x

(the second follows from duality).

Really, using the previous theorem:

G

S

t

l

x

2

S

x

 =

l

x

2

S

G

S

t

x

 =

l

x

2

S

G

S

t

x

j

x

2

S

 

w

l

x

2

S

f

x

t

x

j

x

2

S

g

= 1;

G

S

u

l

x

2

S

x

 =

G

y

2

S

*

l

x

2

S

x

u

+

y

=

G

y

2

S

(

l

x

2

S

x

u

y

j

y

2

S

)

v

G

y

2

S

f

y

u

y

j

y

2

S

g

= 0

:

So

F

S

t

d

x

2

S

x

 = 1

and

F

S

u

d

x

2

S

x

 = 0

.

2.1.9 Center of a lattice

Denition 2.72.

The

center

Z

(

A

)

of a bounded distributive lattice

A

is the set of its comple-

mented elements.

Remark 2.73.

For a denition of center of non-distributive lattices see [

5

].

Remark 2.74.

In [

23

the word center and the notation

Z

(

A

)

are used in a dierent sense.

Denition 2.75.

A sublattice

K

of a complete lattice

L

is a

closed sublattice

of

L

if

K

contains

the meet and the join of any its nonempty subset.

Theorem 2.76.

Center of an innitely distributive lattice is its closed sublattice.

Proof.

See [

16

].

Remark 2.77.

See [

17

for a more strong result.

Theorem 2.78.

The center of a bounded distributive lattice constitutes its sublattice.

Proof.

Let

A

be a bounded distributive lattice and

Z

(

A

)

be its center. Let

a; b

2

Z

(

A

)

. Conse-

quently

a

; b

2

Z

(

A

)

. Then

a

t

b

is the complement of

a

u

b

because

(

a

u

b

)

u

(

a

t

b

) = (

a

u

b

u

a

)

t

(

a

u

b

u

b

) = 0

t

0 = 0

and

(

a

u

b

)

t

(

a

t

b

) = (

a

t

a

t

b

)

u

(

b

t

a

t

b

) = 1

u

1 = 1

:

So

a

u

b

is complemented. Similarly

a

t

b

is complemented.

Theorem 2.79.

The center of a bounded distributive lattice constitutes a boolean lattice.

Proof.

Because it is a distributive complemented lattice.

2.1.10 Atoms of posets

Denition 2.80.

An

atom

of a poset is an element which has no non-least subelements.

2.1 Order theory

23