background image

17.10 Star categories

Denition 17.122.

A

precategory with star-morphisms

consists of

1. a precategory

C

(

the base precategory

);

2. a set

M

(

star-morphisms

);

3. a function arity dened on

M

(how many objects are connected by this star-morphism);

4. a function Obj

m

:

arity

m

!

Obj

(

C

)

dened for every

m

2

M

;

5. a function (

star composition

)

(

m

;

f

)

7!

StarComp

(

m

;

f

)

dened for

m

2

M

and

f

being an

(

arity

m

)

-indexed family of morphisms of

C

such that

8

i

2

arity

m

:

Src

f

i

=

Obj

m

i

(Src

f

i

is

the source object of the morphism

f

i

) such that arity StarComp

(

m

;

f

) =

arity

m

such that it holds:

1. StarComp

(

m

;

f

)

2

M

;

2. (

associativity law

)

StarComp

(

StarComp

(

m

;

f

);

g

) =

StarComp

(

m

;

i

2

arity

m

:

g

i

f

i

)

:

The meaning of the set

M

is an extension of

C

having as morphisms things with arbitrary

(possibly innite) indexed set Obj

m

of objects, not just two objects as morphisms of

C

have only

source and destination.

Denition 17.123.

I will call Obj

m

the

form

of the star-morphism

m

.

(Having xed a precategory with star-morphisms) I will denote StarMor

(

P

)

the set of star-

morphisms of the form

P

.

Proposition 17.124.

The sets StarMor

(

P

)

are disjoint (for dierent

P

).

Proof.

If two star-morphisms have dierent forms, they are clearly not equal.

Denition 17.125.

A

category with star-morphisms

is a precategory with star-morphisms whose

base is a category and the following equality (

the law of composition with identity

) holds for every

star-morphism

m

:

StarComp

(

m

;

i

2

arity

m

: 1

Obj

m

i

) =

m:

Denition 17.126.

A

partially ordered precategory with star-morphisms

is a category with star-

morphisms, whose base precategory is a partially ordered precategory and every set StarMor

(

X

)

is partially ordered for every

X

, such that:

m

0

v

m

1

^

f

0

v

f

1

)

StarComp

(

m

0

;

f

0

)

v

StarComp

(

m

1

;

f

1

)

for every

m

0

; m

1

2

M

such that Obj

m

0

=

Obj

m

1

and indexed families

f

0

and

f

1

of morphisms such

that

8

i

2

arity

m

:

Src

f

0

i

=

Src

f

1

i

=

Obj

m

0

i

=

Obj

m

1

i

and

8

i

2

arity

m

:

Dst

f

0

i

=

Dst

f

1

i:

Denition 17.127.

A

partially ordered category with star-morphisms

is a category with star-

morphisms which is also a partially ordered precategory with star-morphisms.

Denition 17.128.

A

quasi-invertible

precategory with star-morphisms is a partially ordered

precategory with star-morphisms whose base precategory is a quasi-invertible precategory, such
that for every index set

n

, star-morphisms

a

and

b

of arity

n

, and an

n

-indexed family

f

of

morphisms of the base precategory it holds

b

/

StarComp

(

a

;

f

)

,

a

/

StarComp

(

b

;

f

y

)

:

(Here

f

y

=

i

2

dom

f

: (

f

i

)

y

.)

17.10 Star categories

219