background image

Proof.

i

x

=

def

F

f

2

F

f

i

x

. It is enough to prove that

is a premultifuncoid.

We need to prove:

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

j

/

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

:

Really,

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

i

/

F

f

2

F

f

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,9

f

2

F

:

L

i

/

f

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,9

f

2

F

:

L

j

/

f

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

,

L

j

/

F

f

2

F

f

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

,

L

j

/

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

.

Proposition 17.91.

The mapping

f

7!

[

f

]

is an order embedding, for multifuncoids for indexed

families

(

A

i

;

Z

i

)

of down-aligned starrish ltrators with separable nitely meet-closed core.

Proof.

The mapping

f

7!

[

f

]

is dened because

A

i

are starrish posets (and

(

A

i

;

Z

i

)

is with nitely

meet-closed core and down-aligned). The mapping is injective because the ltrators are with
separable cores (

f

X

2

Z

i

j

X

/

h

f

i

A

g

=

f

X

2

Z

i

j

X

/

h

f

i

B

g

implies

h

f

i

A

=

h

f

i

B

). That

f

7!

[

f

]

is a monotone function is obvious.

Remark 17.92.

This order embedding is useful to describe properties of posets of prestaroids.

Theorem 17.93.

If

f

,

g

are multifuncoids for the ltrator

(

F

i

;

P

i

)

where

Z

i

are separable starrish

posets, then

f

t

pFCD

(

A

)

g

2

FCD

(

A

)

.

Proof.

Let

A

2

f

t

pFCD

(

A

)

g

and

B

w

A

. Then for every

k

2

dom

A

A

k

/

¡

f

t

pFCD

(

A

)

g

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

;

A

k

/ (

f

t

g

)

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

;

A

k

/

f

(

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

t

g

(

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

.

Thus

A

k

/

f

(

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

_

A

k

/

g

(

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

;

A

2

[

f

]

_

A

2

[

g

]

;

B

2

[

f

]

_

B

2

[

g

]

;

B

k

/

f

(

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

_

B

k

/

g

(

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

;

B

k

/

f

(

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

t

g

(

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

;

B

k

/

(

f

t

g

)

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

=

¡

f

t

pFCD

(

A

)

g

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

.

Thus

B

2

f

t

pFCD

(

A

)

g

.

Theorem 17.94.

If

F

is a set of multifuncoids for the same indexed family of join innite

distributive complete lattices ltrators, then

F

pFCD

(

A

)

F

2

FCD

(

A

)

.

Proof.

Let

A

2

hF

pFCD

(

A

)

F

i

and

B

w

A

. Then for every

k

2

dom

A

A

k

/

F

pFCD

(

A

)

F

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

=(

F

F

)

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

=

F

f

2

F

f

(

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

.

Thus

9

f

2

F

:

A

k

/

f

(

A

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

;

9

f

2

F

:

A

2

[

f

]

;

B

2

[

f

]

for some

f

2

F

;

9

f

2

F

:

B

k

/

f

(

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

)

;

B

k

/

F

f

2

F

f

(

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

) =

F

pFCD

(

A

)

F

B

j

(

dom

A

)

nf

k

g

. Thus

B

2

hF

pFCD

(

A

)

F

i

.

Conjecture 17.95.

The formula

f

t

FCD

(

A

)

g

2

cFCD

(

A

)

is not true in general for completary

multifuncoids (even for completary multifuncoids on powersets)

f

and

g

of the same form

A

.

17.8 Innite product of poset elements

Denition 17.96.

Let

A

i

be a family of elements of a family

A

i

of posets. The

staroidal product

Q

Strd

(

A

)

A

i

is dened by the formula (for every

L

2

Q

A

)

form

Y

Strd

(

A

)

A

=

A

and

L

2

GR

Y

Strd

(

A

)

A

, 8

i

2

dom

A

:

A

i

/

L

i

:

Proposition 17.97.

If

A

i

are powerset algebras, staroidal product of principal lters is essentially

equivalent to Cartesian product. More precisely,

Q

i

2

dom

A

Strd

"

F

A

i

=

"

Strd

Q

A

for an indexed family

A

of sets.

214

Multifuncoids and staroids