 Thus

h

f

i

j

(

L

[ f

(

i

;

X

t

Y

)

g

) =

h

f

i

j

(

L

[ f

(

i

;

X

)

g

)

t h

f

i

j

(

L

[ f

(

i

;

Y

)

g

)

.

Let us consider the ltrator

¡ Q

i

2

arity

f

F

((

form

f

)

i

);

Q

i

2

arity

f

(

form

f

)

i

.

Theorem 17.84.

Let

(

A

i

;

Z

i

)

be a family of join-closed down-aligned ltrators whose both base

and core are join-semilattices. Let

f

be a staroid of the form

Z

. Then

f

is a staroid of the form

A

.

Proof.

First prove that

f

is a prestaroid. We need to prove that

0

2

/ (

GR

f

)

i

(that is

up

0

*

(

GR

f

)

i

that is

0

2

/ (

GR

f

)

i

what is true by the theorem conditions) and that for every

X

;

Y 2

A

i

and

L 2

Q

i

2

(

arity

f

)

nf

i

g

A

i

where

i

2

arity

f

L [ f

(

i

;

X t Y

)

g 2

GR

f

, L [ f

(

i

;

X

)

g 2

GR

f

_ L [ f

(

i

;

Y

)

g 2

GR

f :

The reverse implication is obvious. Let

L [ f

(

i

;

X t Y

)

g 2

GR

f

. Then for every

L

2 L

and

X

2 X

,

Y

2 Y

we have and

X

t

Z

i

Y

w X t

A

i

Y

thus

L

[ f

(

i

;

X

t

Z

i

Y

)

g 2

GR

f

and thus

L

[ f

(

i

;

X

)

g 2

GR

f

_

L

[ f

(

i

;

Y

)

g 2

GR

f

consequently

L [ f

(

i

;

X

)

g 2

GR

f

_ L [ f

(

i

;

Y

)

g 2

GR

f

.

It is left to prove that

f

is an upper set, but this is obvious.

There is a conjecture similar to the above theorems:

Conjecture 17.85.

L

2

[

f

]

)

[

f

]

\

Q

i

2

dom

A

atoms

L

i

=

/

;

for every multifuncoid

f

for the

ltrator

(

F

n

;

P

n

)

.

Conjecture 17.86.

Let

f

be a set,

F

be the set of lters on

f

,

P

be the set of principal lters

on

f

, let

n

be an index set. Consider the ltrator

(

F

n

;

P

n

)

. Then if

f

is a completary staroid of

the form

P

n

, then

f

is a completary staroid of the form

F

n

.

Obvious 17.87.

(

F

F

)

K

=

F

f

2

F

fK

for every set

F

of premultifuncoid sketches of the same

form

A

and

K

2

Q

A

whenever every

F

f

2

F

fK

is dened.

17.7 Join of multifuncoids

Premultifuncoid sketches are ordered by the formula

f

v

g

, h

f

i v h

g

i

where

v

in the right part

of this formula is the product order. I will denote

u

,

t

,

d

,

F

(without an index) the order poset

operations on the poset of premultifuncoid sketches.

Remark 17.88.

To describe this, the denition of product order is used twice. Let

f

and

g

be

premultifuncoid sketches of the same form

A

h

f

i v h

g

i , 8

i

2

dom

A

:

h

f

i

i

v h

g

i

i

and

h

f

i

i

v h

g

i

i

, 8

L

2

Y

Z

j

(

dom

A

)

nf

i

g

:

h

f

i

i

L

v h

g

i

i

L:

Theorem 17.89.

f

t

pFCD

(

A

)

g

=

f

t

g

for every premultifuncoids

f

and

g

for the same indexed

family of starrish join-semilattices ltrators.

Proof.

i

x

=

def

f

i

x

t

g

i

x

. It is enough to prove that

is a premultifuncoid.

We need to prove:

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

j

/

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

:

Really,

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

i

/

f

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

t

g

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

i

/

f

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

_

L

i

/

g

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

j

/

f

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

_

L

j

/

g

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

,

L

j

/

f

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

t

g

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

,

L

j

/

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

.

Theorem 17.90.

F

pFCD

(

A

)

F

=

F

F

for every set

F

of premultifuncoids for the same indexed

family of join innite distributive complete lattices ltrators.

17.7 Join of multifuncoids

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