background image

Denition 17.76.

I will call a

premultifuncoid

a premultifuncoid sketch such that for every

i;

j

2

n

and

L

2

Q

Z

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

j

/

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

:

(17.3)

Denition 17.77.

Let

A

be an indexed family of starrish posets. The prestaroid

corresponding

to a premultifuncoid

f

is

[

f

]

dened by the formula:

form

[

f

]=

Z

and

L

2

GR

[

f

]

,

L

i

/

h

f

i

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

:

Proposition 17.78.

The prestaroid corresponding to a premultifuncoid is really a prestaroid.

Proof.

By the denition of starrish posets.

Denition 17.79.

I will call a

multifuncoid

a premultifuncoid to which corresponds a staroid.

Denition 17.80.

I will call a

completary multifuncoid

a premultifuncoid to which corresponds

a completary staroid.

Theorem 17.81.

Fix some indexed family

A

of boolean lattices. The the set of premultifuncoids

g

for the ltrator

(

F

i

;

P

i

)

bijectively corresponds to set of prestaroids

f

of form

P

=

i

2

dom

A

:

P

i

by the formulas:

1.

f

= [

g

]

;

2.

@

h

g

i

i

L

= (

val

f

)

i

L

for every

i

2

dom

A

,

L

2

Q

P

j

dom

A

nf

i

g

.

Proof.

Let

f

be a prestaroid of the form

P

. If

is dened by the formula

i

L

=

h

f

i

i

L

then

@

i

L

= (

val

f

)

i

L

. Then

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

2

f

,

L

j

/

j

L

j

(

dom

L

)

nf

j

g

:

For the prestaroid

f

0

dened by the formula

L

2

f

0

,

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

we have:

L

2

f

0

,

L

i

2

@

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

i

2

(

val

f

)

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

,

L

2

f

;

thus

f

0

=

f

.

Let now

be an indexed family of functions

i

2

F

(

Z

i

)

(

dom

Z

)

nf

i

g

conforming to the formula

(

17.3

). Let relation

f

between posets be dened by the formula

L

2

f

,

L

i

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

. Then

(

val

f

)

i

L

=

f

K

2

P

i

j

K

/

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

g

=

@

i

L

j

(

dom

L

)

nf

i

g

and thus

(

val

f

)

i

L

is a core star that is

f

is a prestaroid. For the indexed family

0

dened by the

formula

i

0

L

=

h

f

i

i

L

we have

@

i

0

L

=

@

h

f

i

i

L

=

f

K

2

P

i

j

K

/

i

L

g

=

@

i

L

;

thus

0

=

(taking into account that

P

i

is a boolean lattice).

We have shown that these are bijections.

Denition 17.82.

I will denote

f

the premultifuncoid corresponding to a prestaroid

f

(for an

indexed family of boolean lattices) by the above theorem.

Theorem 17.83.

Fix some indexed family

Z

of boolean lattices.

h

f

i

j

(

L

[ f

(

i

;

X

t

Y

)

g

) =

h

f

i

j

(

L

[f

(

i

;

X

)

g

)

t h

f

i

j

(

L

[f

(

i

;

Y

)

g

)

for every premultifuncoid

f

for the family

(

F

i

;

P

i

)

of ltrators

and

i; j

2

arity

f

,

i

=

/

j

,

L

2

Q

k

2

L

nf

i; j

g

Z

k

,

X ; Y

2

A

i

.

[TODO: It also holds for any nite number

of arguments.]

Proof.

Let

i

2

arity

f

and

L

2

Q

k

2

L

nf

i; j

g

Z

k

. Let

Z

2

Z

i

.

Z

/

h

f

i

j

(

L

[ f

(

i

;

X

t

Y

)

g

)

,

L

[ f

(

i

;

X

t

Y

)

;

(

j

;

Z

)

g 2

f

,

X

t

Y

2

(

val

f

)

i

(

L

[ f

(

j

;

Z

)

g

)

,

X

2

(

val

f

)

i

(

L

[ f

(

j

;

Z

)

g _

Y

2

(

val

f

)

i

(

L

[ f

(

j

;

Z

)

g

)

,

L

[ f

(

i

;

X

)

;

(

j

;

Z

)

g 2

[

f

]

_

L

[ f

(

i

;

Y

)

;

(

j

;

Z

)

g 2

[

f

]

,

Z

/

h

f

i

j

(

L

[ f

(

i

;

X

)

g

)

_

Z

/

h

f

i

j

(

L

[ f

(

i

;

Y

)

g

)

.

212

Multifuncoids and staroids