background image

Proposition 17.22.

If each

A

i

is a separable poset with least element (for some index set

n

) then

Q

A

is a separable poset.

Proof.

Let

a

=

/

b

. Then

9

i

2

dom

A

:

a

i

=

/

b

i

. So

9

x

2

A

i

: (

x

/

a

i

^

x

b

i

)

(or vice versa).

Take

y

= (((

dom

A

)

n f

i

g

)

 f

0

g

)

[ f

(

i

;

x

)

g

. Then

y

/

a

and

y

b

.

Obvious 17.23.

If every

A

i

is a poset with least element

0

i

, then the set of atoms of

Q

A

is

f

(

f

k

atoms

A

k

)

[

(

i

2

(

dom

A

)

n f

k

g

: 0

i

)

j

k

2

dom

A

g

:

Proposition 17.24.

If every

A

i

is an atomistic poset with least element

0

i

, then

Q

A

is an

atomistic poset.

Proof.

x

i

=

F

atoms

x

i

for every

x

i

2

A

i

. Thus

x

=

i

2

dom

x

:

x

i

=

i

2

dom

x

:

G

atoms

x

i

=

G

i

2

dom

x

j

2

dom

x

:

x

i

if

j

=

i

0

i

if

j

=

/

i:

Take join two times.

Corollary 17.25.

If

A

i

are atomistic posets with least elements, then

Q

A

is atomically separable.

Proof.

Proposition

3.19

.

Proposition 17.26.

Let

(

A

i

2

n

;

Z

i

2

n

)

be a family of ltrators. Then

(

Q

A

;

Q

Z

)

is a ltrator.

Proof.

We need to prove that

Q

Z

is a sub-poset of

Q

A

. First

Q

Z

Q

A

because

Z

i

A

i

for

each

i

2

n

.

Let

A; B

2

Q

Z

and

A

v

Q

Z

B

. Then

8

i

2

n

:

A

i

v

Z

i

B

i

; consequently

8

i

2

n

:

A

i

v

A

i

B

i

that is

A

v

Q

A

B

.

Proposition 17.27.

Let

(

A

i

2

n

;

Z

i

2

n

)

be a family of ltrators.

1. The ltrator

(

Q

A

;

Q

Z

)

is (nitely) join-closed if every

(

A

i

;

Z

i

)

is (nitely) join-closed.

2. The ltrator

(

Q

A

;

Q

Z

)

is (nitely) meet-closed if every

(

A

i

;

Z

i

)

is (nitely) meet-closed.

Proof.

Let every

(

A

i

;

Z

i

)

be nitely join-closed. Let

A; B

2

Q

Z

and

A

t

Q

Z

B

exist. Then (by

corollary

17.19

)

A

t

Q

Z

B

=

i

2

n

:

A

i

t

Z

i

B

i

=

i

2

n

:

A

i

t

A

i

B

i

=

A

t

Q

A

B

.

Let now every

(

A

i

;

Z

i

)

be join-closed. Let

S

2

P

Q

Z

and

F

Q

Z

S

exist. Then (by corollary

17.19

)

F

Q

Z

S

=

i

2

dom

A

:

F

Z

i

f

x

i

j

x

2

S

g

=

i

2

dom

A

:

F

A

i

f

x

i

j

x

2

S

g

=

F

Q

A

S

.

The rest follows from symmetry.

Proposition 17.28.

If each

(

A

i

;

Z

i

)

where

i

2

n

(for some index set

n

) is a down-aligned ltrator

with separable core then

(

Q

A

;

Q

Z

)

is with separable core.

Proof.

Let

a

=

/

b

. Then

9

i

2

n

:

a

i

=

/

b

i

. So

9

x

2

Z

i

: (

x

/

a

i

^

x

b

i

)

(or vice versa).

Take

y

= ((

n

n f

i

g

)

 f

0

g

)

[ f

(

i

;

x

)

g

. Then we have

y

/

a

and

y

b

and

y

2

Z

.

Proposition 17.29.

Let every

A

i

be a bounded lattice. Every

(

A

i

;

Z

i

)

is a central ltrator i

(

Q

A

;

Q

Z

)

is a central ltrator.

Proof.

x

2

Z

(

Q

A

)

, 9

y

2

Q

A

:

¡

x

u

y

= 0

Q

A

^

x

t

y

= 1

Q

A

, 9

y

2

Q

A

8

i

2

dom

A

:

(

x

i

u

y

i

= 0

A

i

^

x

i

t

y

i

= 1

A

i

)

, 8

i

2

dom

A

9

y

2

A

i

: (

x

i

u

y

= 0

A

i

^

x

i

t

y

= 1

A

i

)

, 8

i

2

dom

A

:

x

i

2

Z

(

A

i

)

.

[TODO: Finish the proof.]

Proposition 17.30.

For every element

a

of a product ltrator

(

Q

A

;

Q

Z

)

:

1. up

a

=

Q

i

2

dom

a

up

a

i

;

2. down

a

=

Q

i

2

dom

a

down

a

i

.

206

Multifuncoids and staroids