background image

Proof.

If dom

A

=

;

, then

a

=

b

= 0

,

a

b

and thus the theorem statement holds. Assume dom

A

=

/

;

.

a

/

b

, 9

c

2

Q

A

n

0

Q

A

 

: (

c

v

a

^

c

v

b

)

, 9

c

2

Q

A

n

0

Q

A

 

8

i

2

dom

A

: (

c

i

v

a

i

^

c

i

v

b

i

)

,

(for

the reverse implication take

c

j

= 0

A

j

for

i

=

/

j

)

,9

i

2

dom

A

; c

2

A

i

n f

0

A

i

g

: (

c

v

a

i

^

c

v

b

i

)

,

9

i

2

dom

A

:

a

i

/

b

i

.

Proposition 17.14.

1. If

A

i

are join-semilattices then

A

is a join-semilattice and

A

t

B

=

i

2

dom

A

:

Ai

t

Bi:

(17.2)

2. If

A

i

are meet-semilattices then

A

is a meet-semilattice and

A

u

B

=

i

2

dom

A

:

Ai

u

Bi:

Proof.

It is enough to prove the formula (

17.2

).

It's obvious that

i

2

dom

A

:

Ai

t

Bi

w

A; B

.

Let

C

w

A; B

. Then (for every

i

2

dom

A

)

Ci

w

Ai

and

Ci

w

Bi

. Thus

Ci

w

Ai

t

Bi

that is

C

w

i

2

dom

A

:

Ai

t

Bi

.

Corollary 17.15.

If

A

i

are lattices then

A

is a lattice.

Obvious 17.16.

If

A

i

are distributive lattices then

A

is a distributive lattice.

Proposition 17.17.

If

A

i

are boolean lattices then

Q

A

is a boolean lattice.

Proof.

We need to prove only that every element

a

2

Q

A

has a complement. But this complement

is evidently

i

2

dom

a

:

a

i

.

Proposition 17.18.

If every

A

i

is a poset then for every

S

2

P

Q

A

1.

F

S

=

i

2

dom

A

:

F

f

x

i

j

x

2

S

g

whenever every

F

f

x

i

j

x

2

S

g

exists;

2.

d

S

=

i

2

dom

A

:

d

f

x

i

j

x

2

S

g

whenever every

d

f

x

i

j

x

2

S

g

exists.

Proof.

It's enough to prove the rst formula.

(

i

2

dom

A

:

F

f

x

i

j

x

2

S

g

)

i

=

F

f

x

i

j

x

2

S

g w

x

i

for every

x

2

S

and

i

2

dom

A

.

Let

y

w

x

for every

x

2

S

. Then

y

i

w

x

i

for every

i

2

dom

A

and thus

y

i

w

F

f

x

i

j

x

2

S

g

=

(

i

2

dom

A

:

F

f

x

i

j

x

2

S

g

)

i

that is

y

w

i

2

dom

A

:

F

f

x

i

j

x

2

S

g

.

Thus

F

S

=

i

2

dom

A

:

F

f

x

i

j

x

2

S

g

by the denition of join.

Corollary 17.19.

If

A

i

are posets then for every

S

2

P

Q

A

1.

F

S

=

i

2

dom

A

:

F

f

x

i

j

x

2

S

g

whenever

F

S

exists;

2.

d

S

=

i

2

dom

A

:

d

f

x

i

j

x

2

S

g

whenever

d

S

exists.

Proof.

It is enough to prove that (for every

i

)

F

f

x

i

j

x

2

S

g

exists whenever

F

S

exists.

Fix

i

2

dom

A

.

Take

y

i

= (

F

S

)

i

and let prove that

y

i

is the least upper bound of

f

x

i

j

x

2

S

g

.

y

i

is an upper bound of

f

x

i

j

x

2

S

g

because

F

S

w

x

and thus

(

F

S

)

i

w

x

i

for every

x

2

S

.

Let

x

2

S

and for some

t

2

A

i

T

(

t

) =

j

2

dom

A

:

t

if

i

=

j

x

i

if

i

=

/

j:

Let

t

w

x

i

. Then

T

(

t

)

w

x

for every

x

2

S

. So

T

(

t

)

w

F

S

and consequently

t

=

T

(

t

)

i

w

y

i

.

So

y

i

is the least upper bound of

f

x

i

j

x

2

S

g

.

Corollary 17.20.

If

A

i

are complete lattices then

A

is a complete lattice.

Obvious 17.21.

If

A

i

are complete (co-)brouwerian lattices then

A

is a (co-)brouwerian lattice.

17.2 Function spaces of posets

205