background image

Proof.

f

j

h

iA

!

h

f

iA ,

(by the lemma)

,h

f

j

A

iA v h

f

iA (

f

j

A

v

f

,

f

2

C

(

j

A

;

)

.

Corollary 16.9.

Let

,

be endofuncoids,

f

2

FCD

(

Ob

;

Ob

)

,

A 2

F

(

Ob

)

, Src

f

=

Ob

,

Dst

f

=

Ob

. If

f

2

C

(

;

)

then

f

j

h

iA

!

h

f

iA

.

Theorem 16.10.

Let

,

be endofuncoids,

f

2

FCD

(

Ob

;

Ob

)

,

A 2

F

(

Ob

)

be an ultralter,

Src

f

=

Ob

, Dst

f

=

Ob

.

f

2

C

(

j

A

;

)

i

f

j

h

iA

!

h

f

iA

.

Proof.

f

j

h

iA

!

h

f

iA ,

(by the lemma)

,h

f

j

A

iA v h

f

iA ,

(used the fact that

A

is an

ultralter)

,

f

j

A

v

f

j

A

,

f

j

A

v

f

,

f

2

C

(

j

A

;

)

.

16.3 Limit

Denition 16.11.

lim

f

=

a

i

f

!

"

Src

f

a

g

for a

T

2

-separable funcoid

and a non-empty funcoid

f

such that Dst

f

=

Dst

.

It is dened correctly, that is

f

has no more than one limit.

Proof.

Let lim

f

=

a

and lim

f

=

b

. Then im

f

v h

i

f

a

g

and im

f

v h

i

f

b

g

.

Because

f

=

/ 0

FCD

(

Src

f

;

Dst

f

)

we have im

f

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

;

h

i

f

a

g u h

i

f

b

g

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

;

"

Src

f

b

g u

h

¡

1

ih

i

f

a

g

=

/ 0

F

(

Src

)

;

"

Src

f

b

g u h

¡

1

i"

Src

f

a

g

=

/ 0

F

(

Src

)

;

f

a

g

[

¡

1

]

f

b

g

. Because

is

T

2

-separable we have

a

=

b

.

Denition 16.12.

lim

B

f

=

lim

(

f

j

B

)

.

Remark 16.13.

We can also in an obvious way dene limit of a reloid.

16.4 Generalized limit

[TODO: Refer readers to http://portonmath.tiddlyspace.com/]

16.4.1 Denition

Let

and

be endofuncoids. Let

G

be a transitive permutation group on Ob

.

For an element

r

2

G

we will denote

"

r

=

"

FCD

(

Ob

;

Ob

)

r

.

We require that

and every

r

2

G

commute, that is

 "

r

=

"

r

:

We require for every

y

2

Ob

w h

i

f

y

FCD

h

i

f

y

g

:

(16.1)

Proposition 16.14.

Formula (

16.1

follows from

w

¡

1

.

Proof.

Let

w

¡

1

. Then

h

i

f

y

FCD

h

i

f

y

g

=

h

i"

Ob

f

y

FCD

h

i"

Ob

f

y

g

=

(

"

Ob

f

y

FCD

"

Ob

f

y

g

)

¡

1

=

 "

FCD

(

Ob

;

Ob

)

(

f

y

g  f

y

g

)

¡

1

v

id

FCD

(

Ob

)

¡

1

=

¡

1

v

.

Remark 16.15.

The formula (

16.1

usually works if

is a proximity. It does not work if

is a

pretopology or preclosure.

We are going to consider (generalized) limits of arbitrary functions acting from Ob

to Ob

.

(The functions in consideration are not required to be continuous.)

200

Convergence of funcoids