background image

Chapter 16
Convergence of funcoids

16.1 Convergence

The following generalizes the well-known notion of a lter convergent to a point or to a set:

Denition 16.1.

A lter

F 2

F

(

Dst

)

converges

to a lter

A 2

F

(

Src

)

regarding a funcoid

(

F!

A

) i

F v h

iA

.

Denition 16.2.

A funcoid

f

converges

to a lter

A 2

F

(

Src

)

regarding a funcoid

where

Dst

f

=

Dst

(denoted

f

!

A

) i im

f

v h

iA

that is i im

f

!

A

.

Denition 16.3.

A funcoid

f

converges

to a lter

A 2

F

(

Src

)

on a lter

B 2

F

(

Src

f

)

regarding

a funcoid

where Dst

f

=

Dst

i

f

j

B

!

A

.

Remark 16.4.

We can dene also convergence for a reloid

f

:

f

!

A,

im

f

v h

iA

or what is the

same

f

!

A ,

(

FCD

)

f

!

A

.

Theorem 16.5.

Let

f

,

g

be funcoids,

,

be endofuncoids, Dst

f

=

Src

g

=

Ob

, Dst

g

=

Ob

,

A 2

F

(

Ob

)

. If

f

!

A

,

g

j

h

iA

2

C

(

u

(

h

iA 

FCD

h

iA

);

)

;

and

h

iA w A

, then

g

f

!

h

g

iA

.

Proof.

im

f

v h

iA

;

h

g

i

im

f

v h

g

ih

iA

; im

(

g

f

)

v h

g

j

h

iA

ih

iA

; im

(

g

f

)

v h

g

j

h

iA

ih

u

(

h

iA 

FCD

h

iA

)

iA

; im

(

g

f

)

v h

g

j

h

iA

(

u

(

h

iA 

FCD

h

iA

))

iA

; im

(

g

f

)

v h

g

j

h

iA

iA

;

im

(

g

f

)

v h

g

iA

; im

(

g

f

)

v h

ih

g

iA

;

g

f

!

h

g

iA

.

Corollary 16.6.

Let

f

,

g

be funcoids,

,

be endofuncoids, Dst

f

=

Src

g

=

Ob

, Dst

g

=

Ob

,

A 2

F

(

Ob

)

. If

f

!

A

,

g

2

C

(

;

)

, and

h

iA w A

then

g

f

!

h

g

iA

.

Proof.

From the last theorem and theorem

10.7

.

16.2 Relationships between convergence and continuity

Lemma 16.7.

Let

,

be endofuncoids,

f

2

FCD

(

Ob

;

Ob

)

,

A 2

F

(

Ob

)

, Src

f

=

Ob

,

Dst

f

=

Ob

. If

f

2

C

(

j

A

;

)

then

f

j

h

iA

!

h

f

iA , h

f

j

A

iA v h

f

iA

:

Proof.

f

j

h

iA

!

h

f

iA ,

im

f

j

h

iA

vh

ih

f

iA , h

f

ih

iA v h

ih

f

iA , h

f

iA v h

f

iA ,

h

f

j

A

iA v h

f

iA

.

Theorem 16.8.

Let

,

be endofuncoids,

f

2

FCD

(

Ob

;

Ob

)

,

A 2

F

(

Ob

)

, Src

f

=

Ob

,

Dst

f

=

Ob

. If

f

2

C

(

j

A

;

)

then

f

j

h

iA

!

h

f

iA

.

199