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Obvious 2.13.

Dual of a partial order is a partial order.

Denition 2.14.

The

dual

poset for a poset

(

A

;

v

)

is the poset

(

A

;

w

)

.

Below we will sometimes use

duality

that is replacement of the partial order and all related

operations and relations with their duals. In other words, it is enough to prove a theorem for an
order

v

and the similar theorem for

w

follows by duality.

2.1.1.1 Intersecting and joining elements

Let

A

be a poset.

Denition 2.15.

Call elements

a

and

b

of

A

intersecting

, denoted

a

/

b

, when there exists a non-

least element

c

such that

c

v

a

^

c

v

b

.

Denition 2.16.

a

b

=

def

:

(

a

/

b

)

.

Obvious 2.17.

a

0

/

b

0

^

a

1

w

a

0

^

b

1

w

b

0

)

a

1

/

b

1

.

Denition 2.18.

I call elements

a

and

b

of

A

joining

and denote

a

b

when there is no a non-

greatest element

c

such that

c

w

a

^

c

w

b

.

Denition 2.19.

a

/

b

=

def

:

(

a

b

)

.

Obvious 2.20.

Intersecting is the dual of non-joining.

Obvious 2.21.

a

0

b

0

^

a

1

w

a

0

^

b

1

w

b

0

)

a

1

b

1

.

2.1.2 Linear order

Denition 2.22.

A poset

A

is called

linearly ordered set

(or what is the same,

totally ordered set

)

if

a

w

b

_

b

w

a

for every

a; b

2

A

.

Example 2.23.

The set of real numbers with the customary order is a linearly ordered set.

Denition 2.24.

A set

X

2

P

A

where

A

is a poset is called a

chain

if

A

restricted to

X

is a total

order.

2.1.3 Meets and joins

Let

A

be a poset.

Denition 2.25.

Given a set

X

2

P

A

the

least element

(also called

minimum

and denoted min

X

)

of

X

is such

a

2

X

that

8

x

2

X

:

a

v

x

.

Least element does not necessarily exists. But if it exists:

Proposition 2.26.

For a given

X

2

P

A

there exist no more than one least element.

Proof.

It follows from anti-symmetry.

Greatest element

is the dual of least element:

Denition 2.27.

Given a set

X

2

P

A

the

greatest element

(also called

maximum

and denoted

max

X

) of

X

is such

a

2

X

that

8

x

2

X

:

a

w

x

.

Remark 2.28.

Least and greatest elements of a set

X

is a trivial generalization of the above

dened least and greatest element for the entire poset.

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Common knowledge, part 1