background image

So

(

RLD

)

out

((

N

)

FCD

"

N

f

g

) = (

N

)

RLD

"

N

f

g

.

Thus

(

RLD

)

out

(

g

f

) = (

N

)

RLD

"

N

f

g

=

/ 0

RLD

(

N

;

N

)

.

Example 14.20.

(

FCD

)

does not preserve nite meets.

Proof.

(

FCD

)

¡

id

RLD

(

N

)

u

¡

1

RLD

(

N

;

N

)

n

id

RLD

(

N

)

= (

FCD

)0

RLD

(

N

;

N

)

= 0

FCD

(

N

;

N

)

.

On the other hand,

(

FCD

)

id

RLD

(

N

)

u

(

FCD

)

¡

1

RLD

(

N

;

N

)

n

id

RLD

(

N

)

=

id

FCD

(

N

)

u "

FCD

(

N

;

N

)

(

N

N

n

id

N

) =

id

(

N

)

FCD

=

/ 0

FCD

(

N

;

N

)

(used proposition

8.1

).

Corollary 14.21.

(

FCD

)

is not an upper adjoint (in general).

Considering restricting polynomials (considered as reloids) to ultralters, it is simple to prove

that each that restriction is injective if not restricting a constant polynomial. Does this hold in
general? No, see the following example:

Example 14.22.

There exists a monovalued reloid with atomic domain which is neither injective

nor constant (that is not a restriction of a constant function).

Proof.

(based on [

30

]) Consider the function

F

2

N

N

N

dened by the formula

(

x

;

y

)

7!

x

.

Let

!

x

be a non-trivial ultralter on the vertical line

f

x

N

for every

x

2

N

.

Let

T

be the collection of such sets

Y

that

Y

\

(

f

x

N

)

2

!

x

for all but nitely many vertical

lines. Obviously

T

is a lter.

Let

!

2

atoms

T

.

For every

x

2

N

we have some

Y

2

T

for which

(

f

x

g

N

)

\

Y

=

;

and thus

"

N

N

(

f

x

g

N

)

u

!

=

0

F

(

N

N

)

.

Let

g

=

¡

"

RLD

(

N

;

N

)

F

j

!

. If

g

is constant, then there exist a constant function

G

2

GR

g

and

F

\

G

is also constant. Obviously dom

"

RLD

(

N

N

;

N

)

(

F

\

G

)

w

!

. The function

F

\

G

cannot be

constant because otherwise

!

v

dom

"

RLD

(

N

N

;

N

)

(

F

\

G

)

v "

N

N

(

f

x

N

)

for some

x

2

N

what

is impossible by proved above. So

g

is not constant.

Suppose that

g

is injective. Then there exists an injection

G

2

GR

g

. So dom

G

intersects each

vertical line by atmost one element that is dom

G

intersects every vertical line by the whole line or

the line without one element. Thus dom

G

2

T

w

!

and consequently dom

G

2

/

!

what is impossible.

Thus

g

is neither injective nor constant.

14.1 Second product. Oblique product

Denition 14.23.

F

RLD

B

= (

RLD

)

out

(

FCD

B

)

for every lters

A

and

B

. I will call it

second

direct product

of lters

A

and

B

.

Remark 14.24.

The letter

F

is the above denition is from the word funcoid. It signies that

it seems to be impossible to dene

F

RLD

B

directly without referring to funcoidal product.

Denition 14.25.

Oblique products

of lters

A

and

B

are dened as

A

n

B

=

d

"

RLD

f

j

f

2

Rel

(

Base

(

A

);

Base

(

B

))

;

8

B

2 B

:

"

FCD

f

w A 

FCD

"

Base

(

B

)

B

 

;

A

o

B

=

d

"

RLD

f

j

f

2

Rel

(

Base

(

A

);

Base

(

B

))

;

8

A

2 A

:

"

FCD

f

w "

Base

(

A

)

A

FCD

B

 

.

Proposition 14.26.

F

RLD

B v A

n

B v A 

RLD

B

for every lters

A

,

B

.

Proof.

A

n

B v

d

"

RLD

f

j

f

2

Rel

(

Base

(

A

);

Base

(

B

))

;

8

A

2 A

; B

2 B

:

"

FCD

f

w

"

Base

(

A

)

A

FCD

"

Base

(

B

)

B

 

v

d

"

Base

(

A

)

A

RLD

"

Base

(

B

)

B

j

A

2 A

; B

2 B

 

=

RLD

B

.

A

n

B w

d

f"

RLD

f

j

f

2

Rel

(

Base

(

A

);

Base

(

B

))

;

"

FCD

f

w A 

FCD

Bg

=

d

f"

RLD

f

j

f

2

xyGR

(

FCD

B

)

g

= (

RLD

)

out

(

FCD

B

) =

F

RLD

B

.

Conjecture 14.27.

F

RLD

B

@

A

n

B

for some lters

A

,

B

.

174

Counter-examples about funcoids and reloids