background image

Thus

f

=

f

u

¡

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

G

j

dom

f

=

¡

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

j

dom

f

u

¡

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

G

j

dom

f

=

¡

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

(

F

\

G

)

j

dom

f

. Obviously

F

\

G

is an injection.

Theorem 13.80.

If a reloid

f

is monovalued and dom

f

is an principal lter then

f

is principal.

Proof.

f

is a restricted principal monovalued reloid. Thus

f

=

F

j

dom

f

where

F

is a principal

monovalued reloid. Thus

f

is principal.

Lemma 13.81.

If a lter

A

is isomorphic to a lter

B

then if

X

is a set then there exists a set

Y

such that

"

Base

(

A

)

X

u A

is a lter isomorphic to

"

Base

(

B

)

Y

u B

.

Proof.

Let

f

be a monovalued injective reloid such that dom

f

=

A

, im

f

=

B

.

By proposition

4.227

we have:

"

Base

(

A

)

X

u A

=

X

where

X

is a lter complementive to

A

. Let

Y

=

A n X

.

h

(

FCD

)

f

iX u h

(

FCD

)

f

iY

= 0

F

(

Base

(

B

))

by injectivity of

f

.

h

(

FCD

)

f

iX t h

(

FCD

)

f

iY

=

h

(

FCD

)

f

i

(

X t Y

) =

h

(

FCD

)

f

iA

=

B

. So

h

(

FCD

)

f

iX

is a lter com-

plementive to

B

. So by proposition

4.227

there exists a set

Y

such that

h

(

FCD

)

f

iX

=

"

Base

(

B

)

Y

u B

.

f

j

X

is obviously a monovalued injective reloid with dom

(

f

j

X

) =

"

Base

(

A

)

X

u A

and im

(

f

j

X

) =

"

Base

(

B

)

Y

u B

. So

"

Base

(

A

)

X

u A

is isomorphic to

"

Base

(

B

)

Y

u B

.

Example 13.82.

A

>

2

B ^ B

>

2

A

but

A

is not isomorphic to

B

for some lters

A

and

B

.

Proof.

(proof idea by Andreas Blass, rewritten using reloids by me)

Let

u

n

,

h

n

with

n

ranging over the set

Z

be sequences of ultralters on

N

and functions

N

!

N

such that

"

FCD

(

N

;

N

)

h

n

u

n

+1

=

u

n

and

u

n

are pairwise non-isomorphic. (See [

6

for a proof that

such ultralters and functions exist.)

A

=

def

F

f"

Z

f

n

RLD

u

2

n

+1

j

n

2

Z

g

;

B

=

def

F

f"

Z

f

n

RLD

u

2

n

j

n

2

Z

g

.

Let the Set-morphisms

f ; g

:

Z

N

!

Z

N

be dened by the formulas

f

(

n

;

x

) = (

n

;

h

2

n

x

)

and

g

(

n

;

x

) = (

n

¡

1;

h

2

n

¡

1

x

)

.

Using the fact that every function induces a complete funcoid and a lemma above we get:

h"

FCD

f

iA

=

F

hh"

FCD

f

iif"

Z

f

n

RLD

u

2

n

+1

j

n

2

Z

g

=

F

f"

Z

f

n

RLD

u

2

n

j

n

2

Z

g

=

B

.

h"

FCD

g

iB

=

F

hh"

FCD

g

iif"

Z

f

n

RLD

u

2

n

j

n

2

Z

g

=

F

f"

Z

f

n

¡

1

RLD

u

2

n

¡

1

j

n

2

Z

g

=

F

f"

Z

f

n

RLD

u

2

n

+1

j

n

2

Z

g

=

A

.

It remains to show that

A

and

B

are not isomorphic.

Let

X

2 "

Z

f

n

RLD

u

2

n

+1

for some

n

2

Z

. Then if

"

Z

N

X

u A

is an ultralter we have

"

Z

N

X

u A

=

"

Z

f

n

RLD

u

2

n

+1

and thus by the theorem

13.76

is isomorphic to

u

2

n

+1

.

If

X

2

/

"

Z

f

n

RLD

u

2

n

+1

for every

n

2

Z

then

(

Z

N

)

n

X

2 "

Z

f

n

RLD

u

2

n

+1

and thus

(

Z

N

)

n

X

2 A

and thus

"

Z

N

X

u A

= 0

Z

N

.

We have also

(

"

Z

f

0

RLD

N

)

u B

= (

"

Z

f

0

RLD

N

)

u

F

f"

Z

f

n

RLD

u

2

n

j

n

2

Z

g

=

F

f

(

"

Z

f

0

RLD

N

)

u

(

"

Z

f

n

RLD

u

2

n

)

j

n

2

Z

g

=

"

Z

f

0

RLD

u

0

(an ultralter).

Thus every ultralter generated as intersecting

A

with a principal lter

"

Z

N

X

is isomorphic

to some

u

2

n

+1

and thus is not isomorphic to

u

0

. By the lemma it follows that

A

and

B

are non-

isomorphic.

13.4.1 Metamonovalued reloids

Proposition 13.83.

(

T

G

)

f

=

T

f

g

f

j

g

2

G

g

for every function

f

and a set

G

of binary

relations.

Proof.

(

x

;

z

)

2

(

T

G

)

f

, 9

y

: (

f x

=

y

^

(

y

;

z

)

2

T

G

)

,

(

f x

;

z

)

2

T

G

, 8

g

2

G

:

(

fx

;

z

)

2

g

, 8

g

2

G

9

y

: (

fx

=

y

^

(

y

;

z

)

2

g

)

, 8

g

2

G

: (

x

;

z

)

2

g

f

,

(

x

;

z

)

2

T

f

g

f

j

g

2

G

g

.

Lemma 13.84.

(

d

G

)

f

=

d

f

g

f

j

g

2

G

g

if

f

is a monovalued principal reloid and

G

is a set

of reloids (with matching sources and destinations).

Proof.

Let

f

=

"

RLD

'

for some monovalued Rel-morphism

'

.

13.4 Consequences

169