background image

So min

B

exists and min

B

=

h

f

i

min

A

and thus

B

is a principal lter (of the same cardinality

as

A

).

Proposition 13.72.

A lter isomorphic to a non-trivial ultralter is a non-trivial ultralter.

Proof.

Let

a

be a non-trivial ultralter and

a

is isomorphic to

b

. Then

a

>

2

b

and thus

b

is an

ultralter. The lter

b

cannot be trivial because otherwise

a

would be also trivial.

Theorem 13.73.

For an innite set

U

there exist

2

2

card

U

equivalence classes of isomorphic ultra-

lters.

Proof.

The number of bijections between any two given subsets of

U

is no more than

(

card

U

)

card

U

= 2

card

U

. The number of bijections between all pairs of subsets of

U

is no more

than

2

card

U

2

card

U

= 2

card

U

. Therefore each isomorphism class contains at most

2

card

U

ultra-

lters. But there are

2

2

card

U

ultralters. So there are

2

2

card

U

classes.

Remark 13.74.

One of the above mentioned equivalence classes contains trivial ultralters.

Corollary 13.75.

There exist non-isomorphic nontrivial ultralters on any innite set.

13.4 Consequences

Theorem 13.76.

The graph of reloid

"

A

f

a

RLD

F

is isomorphic to the lter

F

for every set

A

and

a

2

A

.

Proof.

Consider

B

=

f

a

Base

(

F

)

and

f

=

f

(

x

; (

a

;

x

))

j

x

2

Base

(

F

)

g

. Then

f

is a bijection from

Base

(

F

)

to

B

.

If

X

2 F

then

h

f

i

X

B

and

h

f

i

X

=

f

a

X

2

GR

(

"

A

f

a

RLD

F

)

.

For every

Y

2

GR

(

"

A

f

a

RLD

F

)

\

P

B

we have

Y

=

f

a

X

for some

X

2 F

and thus

Y

=

h

f

i

X

.

So

h

f

ij

F \

P

Base

(

F

)

=

h

f

ij

F

is a bijection from

P

Base

(

F

)

to GR

(

"

A

f

a

RLD

F

)

\

P

B

.

We have

F \

P

Base

(

F

)

and GR

(

"

A

f

a

RLD

F

)

\

P

B

directly isomorphic and thus

F

is

isomorphic to GR

(

"

A

f

a

RLD

F

)

.

Theorem 13.77.

If

f

,

g

are reloids,

f

v

g

and

g

is monovalued then

g

j

dom

f

=

f

.

[TODO: A similar

theorem for funcoids?]

Proof.

It's simple to show that

f

=

f

j

a

j

a

2

atoms

F

(

Src

f

)

 

(use the fact that

k

v

f

j

a

for some

a

2

atoms

F

(

Src

f

)

for every

k

2

atoms

f

and the fact that

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

is atomistic).

Suppose that

g

j

dom

f

=

/

f

. Then there exists

a

2

atoms dom

f

such that

g

j

a

=

/

f

j

a

.

Obviously

g

j

a

w

f

j

a

.

If

g

j

a

A

f

j

a

then

g

j

a

is not atomic (because

f

j

a

=

/ 0

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

) what contradicts to a theorem

above. So

g

j

a

=

f

j

a

what is a contradiction and thus

g

j

dom

f

=

f

.

Corollary 13.78.

Every monovalued reloid is a restricted principal monovalued reloid.

Proof.

Let

f

be a monovalued reloid. Then there exists a function

F

2

GR

f

. So we have

¡

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

j

dom

f

=

f :

Corollary 13.79.

Every monovalued injective reloid is a restricted injective monovalued principal

reloid.

Proof.

Let

f

be a monovalued injective reloid. There exists a function

F

such that

f

=

¡

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

j

dom

f

. Also there exists an injection

G

2

GR

f

.

168

Orderings of filters in terms of reloids