background image

The last theorem cannot be generalized from atomic lters to arbitrary lters, as it's shown by

the following example:

Example 13.61.

A

>

1

B ^ B

>

1

A

but

A

is not isomorphic to

B

for some lters

A

and

B

.

Proof.

Consider

A

=

"

R

[0; 1]

and

B

=

d

f"

R

[0; 1 +

"

)

j

" >

0

g

. Then the function

f

=

x

2

R

:

x

/2

witnesses both inequalities

A

>

1

B

and

B

>

1

A

. But these lters cannot be isomorphic because only

one of them is principal.

Lemma 13.62.

Let

f

0

and

f

1

be Set-morphisms. Let

f

(

x

;

y

) = (

f

0

x

;

f

1

y

)

for a function

f

. Then

"

FCD

(

Src

f

0

Src

f

1

;

Dst

f

0

Dst

f

1

)

f

(

RLD

B

) =

h"

FCD

f

0

iA 

RLD

h"

FCD

f

1

iB

:

Proof.

"

FCD

(

Src

f

0

Src

f

1

;

Dst

f

0

Dst

f

1

)

f

(

RLD

B

) =

"

FCD

(

Src

f

0

Src

f

1

;

Dst

f

0

Dst

f

1

)

f

d

f"

Src

f

0

Src

f

1

(

A

B

)

j

A

2 A

; B

2 Bg

=

d

f"

Dst

f

0

Dst

f

1

h

f

i

(

A

B

)

j

A

2 A

; B

2 Bg

=

d

f"

Dst

f

0

Dst

f

1

(

h

f

0

i

A

 h

f

1

i

B

)

j

A

2 A

; B

2 Bg

=

d

f"

Dst

f

0

h

f

0

i

A

RLD

"

Dst

f

1

h

f

1

i

B

j

A

2

A

; B

2 Bg

=

(theorem

6.79

)

=

d

f"

Dst

f

0

h

f

0

i

A

j

A

2 Ag 

RLD

d

f"

Dst

f

1

h

f

1

i

B

j

A

2 Bg

=

h"

FCD

f

0

iA 

RLD

h"

FCD

f

1

iB

.

Theorem 13.63.

Let

f

be a monovalued reloid. Then GR

f

is isomorphic to the lter dom

f

.

Proof.

Let

f

be a monovalued reloid. There exists a function

F

2

GR

f

. Consider the bijective

function

p

=

x

2

dom

F

: (

x

;

Fx

)

.

h

p

i

dom

F

=

F

and consequently

h

p

i

dom

f

=

d

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

h

p

i

dom

K

j

K

2

GR

f

 

=

d

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

h

p

i

dom

(

K

\

F

)

j

K

2

GR

f

 

=

d

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

(

K

\

F

)

j

K

2

GR

f

 

=

d

"

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

K

j

K

2

GR

f

 

=

GR

f

. Thus

p

witnesses that GR

f

is isomorphic to the lter

dom

f

.

Corollary 13.64.

The graph of a monovalued reloid with atomic domain is atomic.

Corollary 13.65.

GR id

A

RLD

is isomorphic to

A

for every lter

A

.

Theorem 13.66.

There are atomic lters incomparable by Rudin-Keisler order.

Proof.

See [

13

].

Theorem 13.67.

>

1

and

>

2

are dierent relations.

Proof.

Consider

a

is an arbitrary non-empty lter. Then

a

>

1

0

F

(

Base

(

a

))

but not

a

>

2

0

F

(

Base

(

a

))

.

Proposition 13.68.

If

a

>

2

b

where

a

is an ultralter then

b

is also an ultralter.

Proof.

b

=

h"

FCD

f

i

a

for some

f

:

Base

(

a

)

!

Base

(

b

)

. So

b

is an ultralter since

f

is monovalued.

Corollary 13.69.

If

a

>

1

b

where

a

is an ultralter then

b

is also an ultralter or

0

F

(

Base

(

a

))

.

Proof.

b

v h"

FCD

f

i

a

for some

f

:

Base

(

a

)

!

Base

(

b

)

. Therefore

b

0

=

h"

FCD

f

i

a

is an ultralter. From

this our statement follows.

Proposition 13.70.

Principal lters, generated by sets of the same cardinality, are isomorphic.

Proof.

Let

A

and

B

be sets of the same cardinality. Then there are a bijection

f

from

A

to

B

.

We have

h

f

i

A

=

B

and thus

A

and

B

are isomorphic.

Proposition 13.71.

If a lter is isomorphic to a principal lter, then it is also a principal lter

induced by a set with the same cardinality.

Proof.

Let

A

be a principal lter and

B

is a lter isomorphic to

A

. Then there are sets

X

2

A

and

Y

2

B

such that there are a bijection

f

:

X

!

Y

such that

h

f

i

A

=

B

.

13.3 Rudin-Keisler equivalence and Rudin-Keisler order

167