background image

Let

E

be the set of

x

2

I

such that for no

n

2

N

we have

f

n

(

x

)

periodic.

Lemma 13.55.

Let

x; y

2

E

be such that

f

i

(

x

) =

f

j

(

y

)

and

f

i

0

(

x

) =

f

j

0

(

y

)

for some

i; j ; i

0

; j

0

2

N

.

Then

i

¡

j

=

i

0

¡

j

0

.

Proof.

i

7!

f

i

(

x

)

is a bijection.

So

y

=

f

i

¡

j

(

y

)

and

y

=

f

i

0

¡

j

0

(

y

)

. Thus

f

i

¡

j

(

y

) =

f

i

0

¡

j

0

(

y

)

and so

i

¡

j

=

i

0

¡

j

0

.

Lemma 13.56.

E

2

/

.

Proof.

Let

D

0

E

be a subset of

E

with exactly one element from each equivalence class of the

relation

on

E

.

Dene the function

:

E

!

Z

as follows. Let

x

2

E

. Let

y

be the unique element of

D

0

such that

x

y

. Choose

i; j

2

N

such that

f

i

(

y

) =

f

j

(

x

)

. Let

(

x

) =

i

¡

j

. By the last lemma,

is well-dened.

It is clear that if

x

2

E

then

f

(

x

)

2

E

and moreover

(

f

(

x

)) =

(

x

) + 1

.

Let

E

0

=

f

x

2

E

j

(

x

)

is even

g

and

E

1

=

f

x

2

E

j

(

x

)

is odd

g

.

We have

E

0

\ h

f

i

E

0

=

; 2

/

and hence

E

0

2

/

.

Similarly

E

1

2

/

.

Thus

E

=

E

0

[

E

1

2

/

.

Lemma 13.57.

f

is the identity function on a set in

.

Proof.

We have shown

A; C ; E

2

/

. But the points which lie in none of these sets are exactly

points periodic with period

1

that is xed points of

f

. Thus the set of xed points of

f

belongs

to the lter

.

13.2.1.2 The main theorem and its consequences

Theorem 13.58.

For every ultralter

a

the morphism

(

a

;

a

;

id

a

FCD

)

is the only

1. monovalued morphism of the category of reloid triples from

a

to

a

;

2. injective morphism of the category of reloid triples from

a

to

a

;

3. bijective morphism of the category of reloid triples from

a

to

a

.

Proof.

We will prove only (1) because the rest follow from it.

Let

f

be a monovalued morphism from Base

(

a

)

to Base

(

a

)

. Then it exists a Set-morphism

F

such that

F

2

xyGR

f

. Trivially

h"

FCD

F

i

a

w

a

and thus

h

F

i

A

2

a

for every

A

2

a

. Thus by the

lemma we have that

F

is the identity function on a set in

a

and so obviously

f

is an identity.

Corollary 13.59.

For every two atomic lters (with possibly dierent bases)

A

and

B

there exists

at most one bijective reloid triple from

A

to

B

.

Proof.

Suppose that

f

and

g

are two dierent bijective reloids from

A

to

B

. Then

g

¡

1

f

is not

the identity reloid (otherwise

g

¡

1

f

=

id

dom

f

RLD

and so

f

=

g

). But

g

¡

1

f

is a bijective reloid (as

a composition of bijective reloids) from

A

to

A

what is impossible.

13.3 Rudin-Keisler equivalence and Rudin-Keisler order

Theorem 13.60.

Atomic lters

a

and

b

(with possibly dierent bases) are isomorphic i

a

>

b

^

b

>

a

.

Proof.

Let

a

>

b

^

b

>

a

. Then there are a monovalued reloids

f

and

g

such that dom

f

=

a

and

im

f

=

b

and dom

g

=

b

and im

g

=

a

. Thus

g

f

and

f

g

are monovalued morphisms from

a

to

a

and from

b

to

b

. By the above we have

g

f

=

id

a

RLD

and

f

g

=

id

b

RLD

so

g

=

f

¡

1

and

f

¡

1

f

=

id

a

RLD

and

f

f

¡

1

=

id

b

RLD

. Thus

f

is an injective monovalued reloid from

a

to

b

and thus

a

and

b

are

isomorphic.

166

Orderings of filters in terms of reloids