 Proof.

If

h

f

i

X

2

/

then

X

h

f

¡

1

ih

f

i

X

2

/

and so

X

2

/

. Thus

X

2

^h

f

i

X

2

and consequently

X

\ h

f

i

X

2

.

We will say that

x

is

periodic

when

f

n

(

x

) =

x

for some positive integer

x

. The least such

n

is

called

the period

of

x

.

Let's dene

x

y

i there exist

i; j

2

N

such that

f

i

(

x

) =

f

j

(

y

)

. Trivially it is an equivalence

relation. If

x

and

y

are periodic, then

x

y

i exists

n

2

N

such that

f

n

(

y

) =

x

.

Let

A

=

f

x

2

I

j

x

is periodic with period

>

1

g

.

We will show that

A

2

/

. Let's assume

A

2

.

Let a set

D

A

contains (by the axiom of choice) exactly one element from each equivalence

class of

A

dened by the relation

.

Let

be a function

A

!

N

dened as follows. Let

x

2

A

. Let

y

be the unique element of

D

such that

x

y

. Let

(

x

)

be the least

n

2

N

such that

f

n

(

y

) =

x

.

Let

B

0

=

f

x

2

A

j

(

x

)

is even

g

and

B

1

=

f

x

2

A

j

(

x

)

is odd

g

.

Let

B

2

=

f

x

2

A

j

(

x

) = 0

g

.

Lemma 13.50.

B

0

\ h

f

i

B

0

B

2

.

Proof.

If

x

2

B

0

\ h

f

i

B

0

then

f

n

(

y

) =

x

for a minimal even

n

and

x

=

f

(

x

0

)

where

f

m

(

y

0

) =

x

0

for a minimal even

m

. Thus

f

n

(

y

) =

f

(

x

0

)

thus

y

and

x

0

laying in the same equivalence class and

thus

y

=

y

0

. So we have

f

n

(

y

) =

f

m

+1

(

y

)

. Thus

n

6

m

+ 1

by minimality.

x

0

lies on an orbit and thus

x

0

=

f

¡

1

(

x

)

where by

f

¡

1

I mean step backward on our orbit;

f

m

(

y

) =

f

¡

1

(

x

)

and thus

x

0

=

f

n

¡

1

(

y

)

thus

n

¡

1

>

m

by minimality or

n

= 0

.

Thus

n

=

m

+ 1

what is impossible for even

n

and

m

. We have a contradiction what proves

B

0

\ h

f

i

B

0

;

.

Remained the case

n

= 0

, then

x

=

f

0

(

y

)

and thus

(

x

) = 0

.

Lemma 13.51.

B

1

\ h

f

i

B

1

=

;

.

Proof.

Let

x

2

B

1

\ h

f

i

B

1

. Then

f

n

(

y

) =

x

for an odd

n

and

x

=

f

(

x

0

)

where

f

m

(

y

0

) =

x

0

for an

odd

m

. Thus

f

n

(

y

) =

f

(

x

0

)

thus

y

and

x

0

laying in the same equivalence class and thus

y

=

y

0

. So

we have

f

n

(

y

) =

f

m

+1

(

y

)

. Thus

n

6

m

+ 1

by minimality.

x

0

lies on an orbit and thus

x

0

=

f

¡

1

(

x

)

where by

f

¡

1

I mean step backward on our orbit;

f

m

(

y

) =

f

¡

1

(

x

)

and thus

x

0

=

f

n

¡

1

(

y

)

thus

n

¡

1

>

m

by minimality (

n

= 0

is impossible because

n

is odd).

Thus

n

=

m

+ 1

what is impossible for odd

n

and

m

. We have a contradiction what proves

B

1

\ h

f

i

B

1

=

;

.

Lemma 13.52.

B

2

\ h

f

i

B

2

=

;

.

Proof.

Let

x

2

B

2

\ h

f

i

B

2

. Then

x

=

y

and

x

0

=

y

where

x

=

f

(

x

0

)

. Thus

x

=

f

(

x

)

and so

x

2

/

A

what is impossible.

Lemma 13.53.

A

2

/

.

Proof.

Suppose

A

2

.

Since

A

2

we have

B

0

2

or

B

1

2

.

So either

B

0

\ h

f

i

B

0

B

2

or

B

1

\ h

f

i

B

1

B

2

. As such by the lemma

13.49

we have

B

2

2

.

This is incompatible with

B

2

\ h

f

i

B

2

=

;

. So we got a contradiction.

Let

C

be the set of points

x

which are not periodic but

f

n

(

x

)

is periodic for some positive

n

.

Lemma 13.54.

C

2

/

.

Proof.

Let

be a function

C

!

N

such that

(

x

)

is the least

n

2

N

such that

f

n

(

x

)

is periodic.

Let

C

0

=

f

x

2

C

j

(

x

)

is even

g

and

C

1

=

f

x

2

C

j

(

x

)

is odd

g

.

Obviously

C

j

\ h

f

i

C

j

=

;

for

j

= 0

;

1

. Hence by lemma

13.49

we have

C

0

; C

1

2

/

and thus

C

=

C

0

[

C

1

2

/

.

13.2 Ordering of filters

165