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2. Let

f

2

Mor

MonRld

v

;

=

(

A

;

B

)

,

g

2

Mor

MonRld

v

;

=

(

B

;

C

)

. Then dom

f

v A

, im

f

=

B

, dom

g

v B

,

im

g

=

C

. So dom

(

g

f

)

v A

, im

(

g

f

) =

C

that is

g

f

2

Mor

MonRld

v

;

=

(

A

;

C

)

.

3. Let

f

2

Mor

MonRld

=

;

=

(

A

;

B

)

,

g

2

Mor

MonRld

=

;

=

(

B

;

C

)

. Then dom

f

=

A

, im

f

=

B

, dom

g

=

B

,

im

g

=

C

. So dom

(

g

f

) =

A

;

im

(

g

f

) =

C

that is

g

f

2

Mor

MonRld

=

;

=

(

A

;

C

)

.

Denition 13.44.

Let BijRld be the groupoid of all bijections of the category of reloid triples.

Its objects are lters and its morphisms from a lter

A

to lter

B

are monovalued injective reloids

f

such that dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

Theorem 13.45.

Filters

A

and

B

are isomorphic i Mor

BijRld

(

A

;

B

) =

/

;

.

Proof.

)

.

Let

A

and

B

be isomorphic. Then there are sets

A

2 A

,

B

2 B

and a bijective Set-morphism

F

:

A

!

B

such that

h

F

i

:

P

A

\ A !

P

B

\ B

is a bijection.

Obviously

f

= (

"

RLD

F

)

j

A

is monovalued and injective.

im

f

=

d

f"

B

im

G

j

G

2

(

"

RLD

F

)

j

A

g

=

d

f"

B

im

(

H

\

F

j

X

)

j

H

2

(

"

RLD

F

)

j

A

; X

2 Ag

=

d

f"

B

im

F

j

P

j

P

2 Ag

=

d

f"

B

h

F

i

P

j

P

2 Ag

=

d

f"

B

h

F

i

P

j

P

2

P

A

\ Ag

=

d

h"

B

i

(

P

B

\ B

) =

d

h"

B

iB

=

B

.

Thus dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

(

.

Let

f

be a monovalued injective reloid such that dom

f

=

A

and im

f

=

B

. Then there exist a

function

F

0

and an injective binary relation

F

00

such that

F

0

; F

00

2

GR

f

. Thus

F

=

F

0

\

F

00

is

an injection such that

F

2

GR

f

. The function

F

is a bijection from

A

=

dom

F

to

B

=

im

F

.

The function

h

F

i

is an injection on

P

A

\ A

(and moreover on

P

A

). It's simple to show that

8

X

2

P

A

\ A

:

h

F

i

X

2

P

B

\ B

and similarly

8

Y

2

P

B

\ B

:

h

F

i

¡

1

Y

=

h

F

¡

1

i

Y

2

P

A

\ A

.

Thus

h

F

ij

P

A

\A

is a bijection

P

A

\ A !

P

B

\ B

. So lters

A

and

B

are isomorphic.

Proposition 13.46.

(

>

1

) = (

w

)

(

>

2

)

(when we limit to small lters).

Proof.

A

>

1

B

i exists a function

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

B v h"

FCD

f

iA

. But

B v

h"

FCD

f

iA

is equivalent to

9B

0

2

F

: (

B

0

w B ^ B

0

=

h"

FCD

f

iA

)

. So

A

>

1

B

is equivalent to existence of

B

0

2

F

such that

B

0

w B

and existence of a function

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

B

0

=

h"

FCD

f

iA

.

That is equivalent to

A

((

w

)

(

>

2

))

B

.

Proposition 13.47.

If

a

and

b

are ultralters then

b

>

1

a

,

b

>

2

a

.

Proof.

We need to prove only

b

>

1

a

)

b

>

2

a

. If

b

>

1

a

then there exists a monovalued

reloid

f

:

Base

(

b

)

!

Base

(

a

)

such that dom

f

=

b

and im

f

w

a

. Then im

f

=

im

(

FCD

)

f

2

0

F

(

Base

(

a

))

 

[

atoms

F

(

Base

(

a

))

because

(

FCD

)

f

is a monovalued funcoid. So im

f

=

a

(taken into

account

a

=

/ 0

F

(

Base

(

a

))

) and thus

b

>

2

a

.

Corollary 13.48.

For atomic lters

>

1

is the same as

>

2

.

Thus I will write simply

>

for atomic lters.

13.2.1 Existence of no more than one monovalued injective reloid for a

given pair of ultralters

13.2.1.1 The lemmas

The lemmas in this section were provided to me by Robert Martin Solovay in [

36

]. They are based

on Wistar Comfort's work.

In this section we will assume

is an ultralter on a set

I

and function

f

:

I

!

I

has the property

X

2

, h

f

¡

1

i

X

2

.

Lemma 13.49.

If

X

2

then

X

\ h

f

i

X

2

.

164

Orderings of filters in terms of reloids