background image

3. Mor

MonRld

v

;

w

(

A

;

B

) =

/

;

.

4. Mor

MonRld

v

;

=

(

A

;

B

) =

/

;

.

5. Mor

CoMonRld

=

;

w

(

A

;

B

) =

/

;

.

6. Mor

CoMonRld

v

;

w

(

A

;

B

) =

/

;

.

7. Mor

CoMonRld

v

;

=

(

A

;

B

) =

/

;

.

Proof.

(1)

)

(2).

There exists a Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

B v h"

FCD

f

iA

. We

have

dom

(

"

RLD

f

)

j

A

=

A u

1

F

(

Base

(

A

))

=

A

and

im

(

"

RLD

f

)

j

A

=

im

(

FCD

)(

"

RLD

f

)

j

A

=

im

(

"

FCD

f

)

j

A

=

h"

FCD

f

iA w B

:

Thus

(

"

RLD

f

)

j

A

is a monovalued reloid such that dom

(

"

RLD

f

)

j

A

=

A

and im

(

"

RLD

f

)

j

A

wB

.

(2)

)

(3), (4)

)

(3), (5)

)

(6), (7)

)

(6).

Obvious.

(3)

)

(1).

We have

B v h

(

FCD

)

f

iA

for a monovalued reloid

f

2

RLD

(

Base

(

A

);

Base

(

B

))

. Then

there exists a Set-morphism

F

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

B v h"

FCD

F

iA

that is

A

>

1

B

.

(6)

)

(7).

dom

f

j

B

=

B

and im

f

j

B

vA

.

(2)

,

(5), (3)

,

(6), (4)

,

(7).

By duality.

Theorem 13.42.

For every lters

A

and

B

the following are equivalent:

1.

A

>

2

B

.

2. Mor

MonRld

=

;

=

(

A

;

B

) =

/

;

.

3. Mor

CoMonRld

=

;

=

(

A

;

B

) =

/

;

.

Proof.

(1)

)

(2).

Let

A

>

2

B

that is

B

=

h"

FCD

f

iA

for some Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

.

Then dom

(

"

RLD

f

)

j

A

=

A

and im

(

"

RLD

f

)

j

A

=

im

(

FCD

)(

"

RLD

f

)

j

A

=

im

(

"

FCD

f

)

j

A

=

h"

FCD

f

iA

=

B

. So

(

"

RLD

f

)

j

A

is a sought for reloid.

(2)

)

(1).

By corollary

13.78

below, there exists a Set-morphism

F

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such

that

f

= (

"

RLD

F

)

j

A

. Thus

h"

FCD

F

iA

=

im

(

"

FCD

F

)

j

A

=

im

(

FCD

)(

"

RLD

F

)

j

A

=

im

(

FCD

)

f

=

im

f

=

B

. Thus

A

>

2

B

is testied by the morphism

F

.

(2)

,

(3).

By duality.

Theorem 13.43.

The following are categories (with reloid composition):

1. MonRld

v

;

w

;

2. MonRld

v

;

=

;

3. MonRld

=

;

=

.

4. CoMonRld

v

;

w

;

5. CoMonRld

v

;

=

;

6. CoMonRld

=

;

=

.

Proof.

We will prove only the rst three. The rest follow from duality.

[TODO: Check duality.]

We need to prove only that composition of morphisms is a morphism, because associativity and
existence of identity morphism are evident. We have:

1. Let

f

2

Mor

MonRld

v

;

w

(

A

;

B

)

,

g

2

Mor

MonRld

v

;

w

(

B

;

C

)

. Then dom

f

v A

, im

f

w B

, dom

g

v B

,

im

g

w C

. So dom

(

g

f

)

v A

, im

(

g

f

)

w C

that is

g

f

2

Mor

MonRld

v

;

w

(

A

;

C

)

.

13.2 Ordering of filters

163