background image

Proof.

First let's prove it is a category. Let

f

:

A! B

and

g

:

B ! C

be morphisms of FuncBij. Then

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

and

g

:

Base

(

A

)

!

Base

(

C

)

are bijections and

B

=

h"

FCD

f

iA

and

C

=

h"

FCD

g

iB

.

Thus

g

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

C

)

is a bijection and

C

=

h"

FCD

(

g

f

)

iA

. Thus

g

f

is a morphism of

FuncBij. id

Base

(

A

)

is the identity morphism of FuncBij for every lter

A

. Thus it is a category.

It remains to prove only that every morphism

f

2

Mor

FuncBij

(

A

;

B

)

has a reverse (for every

lters

A

,

B

). We have

f

is a bijection Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that for every

C

2

P

Base

(

A

)

h

f

i

C

2 B ,

C

2 A

:

Then

f

¡

1

:

Base

(

B

)

!

Base

(

A

)

is a bijection such that for every

C

2

P

Base

(

B

)

h

f

¡

1

i

C

2 A ,

C

2 B

:

Thus

f

¡

1

2

Mor

FuncBij

(

B

;

A

)

.

Corollary 13.29.

Being directly isomorphic is an equivalence relation.

Rudin-Keisler order of ultralters is considered in such a book as [

37

].

Obvious 13.30.

For the case of ultralters being directly isomorphic is the same as being Rudin-

Keisler equivalent.

Denition 13.31.

A lter

A

is

isomorphic

to a lter

B

i there exist sets

A

2 A

and

B

2 B

such

that

A

is directly isomorphic to

B

.

Obvious 13.32.

Equivalent lters are isomorphic.

Theorem 13.33.

Being isomorphic (for small lters) is an equivalence relation.

Proof.

Reexivity.

Because every lter is directly isomorphic to itself.

Symmetry.

If lter

A

is isomorphic to

B

then there exist sets

A

2 A

and

B

2 B

such that

A

is directly isomorphic to

B

and thus

B

is directly isomorphic to

A

. So

B

is isomorphic to

A

.

Transitivity.

Let

A

be isomorphic to

B

and

B

be isomorphic to

C

. Then exist

A

2 A

,

B

1

2 B

,

B

2

2 B

,

C

2 C

such that there are bijections

f

:

A

!

B

1

and

g

:

B

2

!

C

such that

8

X

2

P

A

: (

X

2 B , h

f

¡

1

i

X

2 A

)

and

8

X

2

P

B

2

: (

X

2 A , h

f

i

X

2 B

)

:

Also

8

X

2

P

B

2

: (

X

2 B , h

g

i

X

2 C

)

.

So

g

f

is a bijection from

h

f

¡

1

i

(

B

1

\

B

2

)

2 A

to

h

g

i

(

B

1

\

B

2

)

2 C

such that

X

2 A , h

f

i

X

2 B , h

g

ih

f

i

X

2 C , h

g

f

i

X

2 C

:

Thus

g

f

establishes a bijection which proves that

A

is isomorphic to

C

.

Lemma 13.34.

Let card

X

=

card

Y

,

u

be an ultralter on

X

and

v

be an ultralter on

Y

; let

A

2

u

and

B

2

v

. Let

u

A

and

v

B

be directly isomorphic. Then if card

(

X

n

A

) =

card

(

Y

n

B

)

we have

u

and

v

directly isomorphic.

Proof.

Arbitrary extend the bijection witnessing being directly isomorphic to the sets

X

n

A

and

Y

n

B

.

Theorem 13.35.

If card

X

=

card

Y

then being isomorphic and being directly isomorphic are the

same for ultralters

u

on

X

and

v

on

Y

.

Proof.

That if two lters are isomorphic then they are directly isomorphic is obvious.

Let ultralters

u

and

v

be isomorphic that is there is a bijection

f

:

A

!

B

where

A

2

u

,

B

2

v

witnessing isomorphism of

u

and

v

.

If one of the lters

u

or

v

is a trivial ultralter then the other is also a trivial ultralter and as

it is easy to show they are directly isomorphic. So we can assume

u

and

v

are not trivial ultralters.

13.2 Ordering of filters

161