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5.

h"

FCD

f

ij

A

is a function onto

B

.

6.

B

=

h"

FCD

f

iA

.

7.

f

2

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

.

8.

f

2

Mor

FuncBij

(

A

;

B

)

.

Proof.

(1)

,

(2).

B

=

f

 A , B

=

f

C

2

P

Base

(

B

)

j h

f

¡

1

i

C

2 Ag , 8

C

2

Base

(

B

): (

C

2 B ,

h

f

¡

1

i

C

2 A

)

.

(2)

,

(3).

Because

f

is a bijection.

(2)

)

(5).

For every

C

2 B

we have

h

f

¡

1

i

C

2 A

and thus

h"

FCD

f

ij

A

h"

FCD

f

¡

1

i

C

=

h

f

ih

f

¡

1

i

C

=

C

. Thus

h"

FCD

f

ij

A

is onto

B

.

(4)

)

(5).

Obvious.

(5)

)

(4).

We need to prove only that

h"

FCD

f

ij

A

is an injection. But this follows from the fact

that

f

is a bijection.

(4)

)

(3).

We have

8

C

2

Base

(

A

): ((

h"

FCD

f

ij

A

)

C

2B,

C

2A

)

and consequently

8

C

2

Base

(

A

):

(

h

f

i

C

2 B ,

C

2 A

)

.

(6)

,

(1).

From the last corollary.

(1)

,

(7).

Obvious.

(7)

,

(8).

Obvious.

Corollary 13.25.

The following are equivalent for every lters

A

and

B

:

1.

A

is directly isomorphic to

B

.

2. There is a bijective Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that for every

C

2

P

Base

(

B

)

C

2 B , h

f

¡

1

i

C

2 A

:

3. There is a bijective Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that for every

C

2

P

Base

(

B

)

h

f

i

C

2 B ,

C

2 A

:

4. There is a bijective Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

h"

FCD

f

ij

A

is a bijection

from

A

to

B

.

5. There is a bijective Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

h"

FCD

f

ij

A

is a function

onto

B

.

6. There is a bijective Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

B

=

h"

FCD

f

iA

.

7. There is a bijective morphism

f

2

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

.

Proposition 13.26.

GreFunc

1

and GreFunc

2

with function composition are categories.

Proof.

Let

f

:

A ! B

and

g

:

B ! C

be morphisms of GreFunc

1

. Then

B v h"

FCD

f

iA

and

C v h"

FCD

g

iB

. So

h"

FCD

(

g

f

)

iA

=

h"

FCD

g

ih"

FCD

f

iA w h"

FCD

g

iB w C

. Thus

g

f

is a morphism of

GreFunc

1

. Associativity law is evident. id

Base

(

A

)

is the identity morphism of GreFunc

1

for every

lter

A

.

Let

f

:

A ! B

and

g

:

B ! C

be morphisms of GreFunc

2

. Then

B

=

h"

FCD

f

iA

and

C

=

h"

FCD

g

iB

.

So

h"

FCD

(

g

f

)

iA

=

h"

FCD

g

ih"

FCD

f

iA

=

h"

FCD

g

iB

=

C

. Thus

g

f

is a morphism of GreFunc

2

.

Associativity law is evident. id

Base

(

A

)

is the identity morphism of GreFunc

2

for every lter

A

.

Corollary 13.27.

6

1

and

6

2

are preorders.

Theorem 13.28.

FuncBij is a groupoid.

160

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