background image

Denition 13.14.

Let

A

be a lter on a set

X

and

B

is a lter on a set

Y

.

A

>

1

B

i Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

is not empty.

Denition 13.15.

Let

A

be a lter on a set

X

and

B

be a lter on a set

Y

.

A

>

2

B

i

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

is not empty.

Proposition 13.16.

1.

f

2

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

i

f

is a Set-morphism from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

C

2 B ( h

f

¡

1

i

C

2 A

for every

C

2

P

Base

(

B

)

.

2.

f

2

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

i

f

is a Set-morphism from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

C

2 B , h

f

¡

1

i

C

2 A

for every

C

2

P

Base

(

B

)

.

Proof.

1.

f

2

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

, B 

f

 A , 8

C

2

f

 A

:

C

2 B , 8

C

2

P

Base

(

B

):

(

h

f

¡

1

i

C

2 A )

C

2 B

)

.

2.

f

2

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

, B

=

f

 A , 8

C

: (

C

2 B ,

C

2

f

 A

)

, 8

C

2

P

Base

(

B

):

(

C

2 B ,

C

2

f

 A

)

, 8

C

2

P

Base

(

B

): (

C

2 B , h

f

¡

1

i

C

2 A

)

.

Denition 13.17.

The directed multigraph FuncBij is the directed multigraph got from GreFunc

2

by restricting to only bijective morphisms.

Denition 13.18.

A lter

A

is

directly isomorphic

to a lter

B

i there is a morphism

f

2

Mor

FuncBij

(

A

;

B

)

.

Proposition 13.19.

f

 A

=

h"

FCD

f

iA

for every Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

.

[TODO:

Make it the primary denition instead of the trick with

.]

Proof.

For every set

C

2

P

Base

(

B

)

we have

C

2

f

 A , h

f

¡

1

i

C

2 A ) 9

K

2 A

:

h

f

¡

1

i

C

=

K

)

9

K

2 A

:

h

f

ih

f

¡

1

i

C

=

h

f

i

K

) 9

K

2 A

:

C

 h

f

i

K

, 9

K

2 A

:

C

2 h"

FCD

f

i

K

)

C

2 h"

FCD

f

iA

.

So

C

2

f

 A )

C

2 h"

FCD

f

iA

.

Let now

C

2 h"

FCD

f

iA

. Then

"

Base

(

A

)

h

f

¡

1

i

C

w h"

FCD

f

¡

1

ih"

FCD

f

iA w A

and thus

h

f

¡

1

i

C

2

A

.

Corollary 13.20.

f

2

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

, B v h"

FCD

f

iA

for every Set-morphism

f

from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

.

Corollary 13.21.

f

2

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

, B

=

h"

FCD

f

iA

for every Set-morphism

f

from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

.

Corollary 13.22.

A

>

1

B

i it exists a Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

B v

h"

FCD

f

iA

.

Corollary 13.23.

A

>

2

B

i it exists a Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

such that

B

=

h"

FCD

f

iA

.

Proposition 13.24.

For a bijective Set-morphism

f

:

Base

(

A

)

!

Base

(

B

)

the following are equiv-

alent:

1.

B

=

f

 A

.

2.

8

C

2

Base

(

B

): (

C

2 B , h

f

¡

1

i

C

2 A

)

.

3.

8

C

2

Base

(

A

): (

h

f

i

C

2 B ,

C

2 A

)

:

4.

h"

FCD

f

ij

A

is a bijection from

A

to

B

.

13.2 Ordering of filters

159