background image

2.

(

A

)

\

P

(

A

\

Base

(

A

)) =

f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g \

P

(

A

\

Base

(

A

)) =

f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g \

P

Base

(

A

) =

f

X

2

P

(

A

\

Base

(

A

))

j

X

2 Ag

=

A \

P

(

A

\

Base

(

A

))

.

Thus

A

 A

because

A

\

Base

(

A

)

X

2 A

for some

X

2 A

and

A

\

Base

(

A

)

X

\

Base

(

A

)

2 f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g

=

A

.

Proposition 13.6.

A

2 A ) A 

A

=

P

A

\ A

.

Proof.

Let

A

2 A

. Then

A

=

f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g

=

f

X

2

P

A

j

X

2 Ag

=

P

A

\ A

.

Lemma 13.7.

If

A  B

then

9

Y

2 A

:

Y

X

, 9

Y

2 B

:

Y

X

for every lters

A

,

B

, and a set

X

.

Proof.

We will prove

9

Y

2 A

:

Y

X

) 9

Y

2 B

:

Y

X

(the other direction is similar).

We have

P

K

\ A

=

P

K

\ B

for some set

K

such that

K

2 A

,

K

2 B

.

9

Y

2 A

:

Y

X

) 9

Y

2

P

K

\ A

:

Y

X

) 9

Y

2

P

K

\ B

:

Y

X

) 9

Y

2 B

:

Y

X

.

Proposition 13.8.

If

A  B

then

B

=

Base

(

B

)

for every lters

A

,

B

.

Proof.

P

Y

\ A

=

P

Y

\ B

for some set

Y

2 A

,

Y

2 B

. There exists a set

X

2 A

such that

X

2 B

.

Thus

9

X

2 A

:

X

Base

(

B

)

and so

Base

(

B

)

is a lter.

X

2 A 

Base

(

B

)

,

X

2

P

Base

(

B

)

^ 9

Y

2 A

:

Y

X

,

X

2

P

Base

(

B

)

^ 9

Y

2 B

:

Y

X

,

X

2 B

(the lemma used).

13.2 Ordering of lters

Below I will dene some categories having lters (with possibly dierent bases) as their objects
and some relations having two lters (with possibly dierent bases) as arguments induced by these
categories (dened as existence of a morphism between these two lters).

Theorem 13.9.

card

a

=

card

U

for every ultralter

a

on

U

if

U

is innite.

Proof.

Let

f

(

X

) =

X

if

X

2

a

and

f

(

X

) =

U

n

X

if

X

2

/

a

. Obviously

f

is a surjection from

U

to

a

.

Every

X

2

a

appears as a value of

f

exactly twice, as

f

(

X

)

and

f

(

U

n

X

)

. So card

a

=

(

card

U

)/2 =

card

U

.

Corollary 13.10.

Cardinality of every two ultralters on a set

U

is the same.

Proof.

For innite

U

it follows from the theorem. For nite case it is obvious.

Denition 13.11.

f

 A

=

f

C

2

P

(

Dst

f

)

j h

f

¡

1

i

C

2 Ag

for every lter

A

and a Set-morphism

f

.

13.1

Below I'll dene some directed multigraphs. By an abuse of notation, I will denote these

multigraphs the same as (below dened) categories based on some of these directed multigraphs
with added composition of morphisms (of directed multigraphs edges). As such I will call vertices
of these multigraphs objects and edges morphisms.

Denition 13.12.

I will denote GreFunc

1

the multigraph whose objects are lters and whose

morphisms between objects

A

and

B

are Set-morphisms from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

f

 A

.

Denition 13.13.

I will denote GreFunc

2

the multigraph whose objects are lters and whose

morphisms between objects

A

and

B

are Set-morphisms from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

B

=

f

 A

.

13.1

We will assume that

f

 A

is just a set, while it is not yet proved that it is a lter.

158

Orderings of filters in terms of reloids