background image

Chapter 13
Orderings of lters in terms of reloids

Whilst the other chapters of this book use lters to research funcoids and reloids, here the opposite
thing is discussed, the theory of reloids is used to describe properties of lters.

In this chapter the word

lter

is used to denote a lter on a set (not on an arbitrary poset) only.

13.1 Equivalent lters

Denition 13.1.

Two lters

A

and

B

(with possibly dierent base sets) are

equivalent

(

A  B

)

i there exists a set

X

such that

X

2 A

and

X

2 B

and

P

X

\ A

=

P

X

\ B

.

Proposition 13.2.

If two lters with the same base are equivalent they are equal.

Proof.

Let

A

and

B

be two lters and

P

X

\ A

=

P

X

\ B

for some set

X

such that

X

2 A

and

X

2 B

, and Base

(

A

) =

Base

(

B

)

. Then

A

= (

P

X

\ A

)

[ f

Y

2

P

Base

(

A

)

j

Y

X

g

=

(

P

X

\ B

)

[ f

Y

2

P

Base

(

B

)

j

Y

X

g

=

B

.

Proposition 13.3.

restricted to small lters is an equivalence relation.

Proof.

Reexivity.

Obvious.

Symmetry.

Obvious.

Transitivity.

Let

A  B

and

B  C

for some small lters

A

,

B

, and

C

. Then there exist a set

X

such that

X

2 A

and

X

2 B

and

P

X

\ A

=

P

X

\ B

and a set

Y

such that

Y

2 B

and

Y

2 C

and

P

Y

\ B

=

P

Y

\ C

. So

X

\

Y

2 A

because

P

Y

\

P

X

\ A

=

P

Y

\

P

X

\ B

=

P

(

X

\

Y

)

\ B  f

X

\

Y

g \ B 3

X

\

Y :

Similarly we have

X

\

Y

2 C

. Finally

P

(

X

\

Y

)

\ A

=

P

Y

\

P

X

\ A

=

P

Y

\

P

X

\ B

=

P

X

\

P

Y

\ B

=

P

X

\

P

Y

\ C

=

P

(

X

\

Y

)

\ C

.

Denition 13.4.

The

rebase

A

for a lter

A

and a set

A

(base) such that

9

X

2 A

:

X

A

is

dened by the formula

A

=

f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g

:

Proposition 13.5.

If

9

X

2 A

:

X

A

then:

1.

A

is a lter on

A

;

2.

A

 A

.

Proof.

1. We need to prove that

f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g

is a lter on

A

. That it is an upper set is

obvious. It is non-empty because

9

Y

2 A

:

Y

A

and thus

A

2 f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g

.

Let

P ; Q

2 f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g

. Then

P ; Q

A

and

9

P

0

2 A

:

P

0

P

and

9

Q

0

2 A

:

Q

0

Q

. So

P

\

Q

A

and

P

0

\

Q

0

P

\

Q

. Thus

P

\

Q

2 f

X

2

P

A

j 9

Y

2 A

:

Y

X

g

.

157