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 8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

0

[

:::

[

E

n

)

 9

n

2

N

:

totBound

(

f

n

)

 9

n

2

N

:

totBound

(

f

n

)

 9

n

2

N

:

totBound

(

f

0

t

:::

t

f

n

)

 9

n

2

N

:

totBound

(

f

0

t

:::

t

f

n

)

totBound

(

S

(

f

))

totBound

(

S

(

f

))

Some of the above dened predicates are equivalent:

Proposition 12.23.

 8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

n

)

, 9

n

2

N

:

totBound

(

f

n

)

.

 8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

n

)

, 9

n

2

N

:

totBound

(

f

n

)

.

Proof.

Because every

F

2

GR

f

n

is a superset of

E

n

for some

E

2

GR

f

.

Proposition 12.24.

 8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

0

[

:::

[

E

n

)

, 9

n

2

N

:

totBound

(

f

0

t

:::

t

f

n

)

.

 8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

0

[

:::

[

E

n

)

, 9

n

2

N

:

totBound

(

f

0

t

:::

t

f

n

)

.

Proof.

f

0

t

:::

t

f

n

=

f

0

\

:::

\

f

n

. Thus every

F

2

GR

(

f

0

\

:::

\

f

n

)

we have

F

2

f

k

, thus

F

E

k

k

for all

k

for some

E

k

2

GR

f

and so

F

E

0

[

:::

[

E

n

where

E

=

E

0

\

:::

\

E

k

2

GR

f

.

Proposition 12.25.

All predicates in the above list are pairwise equivalent in the case if

f

is a

uniform space.

Proof.

Because

f

f

=

f

.

156

Total boundness of reloids