 is a sought for nite cover.

Corollary 12.18.

A uniform space is

-totally bounded i it is

-totally bounded.

Proof.

From the theorem and the denition of uniform spaces.

Thus we can say about just

totally bounded

uniform spaces (without specifying whether it is

or

).

12.4 Relationships with other properties

Theorem 12.19.

Let

and

be endoreloids. Let

f

be a principal C

0

(

;

)

continuous, mono-

valued, surjective reloid. Then if

is

-totally bounded then

is also

-totally bounded.

Proof.

Let

'

be the monovalued, surjective function, which induces the reloid

f

.

We have

v

f

¡

1

f

.

Let

F

2

GR

. Then there exists

E

2

GR

such that

E

'

¡

1

F

'

.

Since

is

-totally bounded, there exists a nite subset

A

of Ob

such that

h

E

i

A

=

Ob

.

We claim

h

F

ih

'

i

A

=

Ob

.

Indeed let

y

2

Ob

be an arbitrary point. Since

'

is surjective, there exists

x

2

Ob

such

that

'x

=

y

. Since

h

E

i

A

=

Ob

there exists

a

2

A

such that

a E x

and thus

a

(

'

¡

1

F

'

)

x

. So

(

'a

;

y

) = (

'a

;

'x

)

2

F

. Therefore

y

2 h

F

ih

'

i

A

.

Theorem 12.20.

Let

and

be endoreloids. Let

f

be a principal C

00

(

;

)

continuous, surjective

reloid. Then if

is

-totally bounded then

is also

-totally bounded.

Proof.

Let

'

be the surjective binary relation which induces the reloid

f

.

We have

f

f

¡

1

v

.

Let

F

2

GR

. Then there exists

E

2

GR

such that

'

E

'

¡

1

F

.

There exists a nite cover

S

of Ob

such that

[

f

A

A

j

A

2

S

E:

Thus

'

(

S

f

A

A

j

A

2

S

g

)

'

¡

1

F

that is

S

fh

'

i

A

h

'

i

A

j

A

2

S

F

.

It remains to prove that

fh

'

i

A

j

A

2

S

g

is a cover of Ob

. It is true because

'

is a surjection

and

S

is a cover of Ob

.

A stronger statement (principality requirement removed):

Conjecture 12.21.

The image of a uniformly continuous entirely dened monovalued surjective

reloid from a (

-,

-)totally bounded endoreloid is also (

-,

-)totally bounded.

Can we remove the requirement to be entirely dened from the above conjecture?

Question 12.22.

Under which conditions it's true that join of (

-,

-) totally bounded reloids is

also totally bounded?

We may consider also the following predicates expressing dierent kinds of what is intuitively is
understood as boundness. Their usefulness is unclear, but I present them for completeness.

8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

n

)

8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

n

)

8

E

2

GR

f

9

n

2

N

:

thick

(

E

0

[

:::

[

E

n

)