Chapter 12
Total boundness of reloids

12.1 Thick binary relations

Denition 12.1.

I will call

-thick

and denote thick

(

E

)

a Rel-endomorphism

E

when there

exists a nite cover

S

of Ob

E

such that

8

A

2

S

:

A

A

GR

E

.

Denition 12.2.

CS

(

S

) =

S

f

A

A

j

A

2

S

g

for a collection

S

of sets.

Remark 12.3.

CS means Cartesian squares.

Obvious 12.4.

A Rel-endomorphism is

-thick i there exists a nite cover

S

of Ob

E

such that

CS

(

S

)

GR

E

.

Denition 12.5.

I will call

-thick

and denote thick

(

E

)

a Rel-endomorphism

E

when there

exists a nite set

B

such that

h

E

i

B

=

Ob

E

.

Proposition 12.6.

thick

(

E

)

)

thick

(

E

)

.

Proof.

Let thick

(

E

)

. Then there exists a nite cover

S

of the set Ob

E

such that

8

A

2

S

:

A

A

GR

E

. Without loss of generality assume

A

=

/

;

for every

A

2

S

. So

A

h

E

if

x

A

g

for some

x

A

for every

A

2

S

. So

h

E

if

x

A

j

A

2

S

g

=

S

fh

E

if

x

A

g j

A

2

S

g

=

Ob

E

and thus

E

is

-thick.

Obvious 12.7.

Let

X

be a set,

A

and

B

are Rel-endomorphisms on

X

and

B

w

A

. Then:

thick

(

A

)

)

thick

(

B

)

;

thick

(

A

)

)

thick

(

B

)

.

Example 12.8.

There is a

-thick Rel-morphism which is not

-thick.

Proof.

Consider the Rel-morphism on

[0; 1]

with the below graph:

¡ =

f

(

x

;

x

)

j

x

2

[0; 1]

g [ f

(

x

; 0)

j

x

2

[0; 1]

g [ f

(0;

x

)

j

x

2

[0; 1]

g

:

¡

is

-chick because

h

¡

if

0

g

= [0; 1]

.

To prove that

¡

is not

-thick it's enough to prove that every set

A

such that

A

A

¡

is nite.

153