background image

Denition 11.24.

A lter

A 2

F

(

Ob

)

is called

connected

regarding an endofuncoid

when

8X

;

Y 2

F

(

Ob

)

n

0

F

(

Ob

)

 

: (

X t Y

=

A ) X

[

]

Y

)

:

Proposition 11.25.

Let

A

be a set. The lter

"

Ob

A

is connected regarding an endofuncoid

i

8

X ; Y

2

P

(

Ob

)

n f;g

: (

X

[

Y

=

A

)

X

[

]

Y

)

:

Proof.

)

.

Obvious.

(

.

It follows from co-separability of lters.

Theorem 11.26.

The following are equivalent for every set

A

and binary relation

on a set

U

:

1.

A

is connected regarding binary relation

.

2.

"

U

A

is connected regarding

"

RLD

(

U

;

U

)

.

3.

"

U

A

is connected regarding

"

FCD

(

U

;

U

)

.

Proof.

(1)

,

(2).

S

¡

"

RLD

(

U

;

U

)

u

(

"

U

A

RLD

"

U

A

)

=

S

¡

"

RLD

(

U

;

U

)

(

\

(

A

A

))

=

"

RLD

(

U

;

U

)

S

(

\

(

A

A

))

. So

S

¡

"

RLD

(

U

;

U

)

u

(

"

U

A

RLD

"

U

A

)

w "

U

A

RLD

"

U

A

, "

RLD

(

U

;

U

)

S

(

\

(

A

A

))

w "

RLD

(

U

;

U

)

(

A

A

) =

"

U

A

RLD

"

U

A

.

(1)

,

(3).

It follows from the previous proposition.

Next is conjectured a statement more strong than the above theorem:

Conjecture 11.27.

Let

A

be a lter on a set

U

and

F

is a binary relation on

U

.

A

is connected regarding

"

FCD

(

U

;

U

)

F

i

A

is connected regarding

"

RLD

(

U

;

U

)

F

.

Obvious 11.28.

A lter

A

is connected regarding a reloid

i it is connected regarding the reloid

u

(

RLD

A

)

.

Obvious 11.29.

A lter

A

is connected regarding a funcoid

i it is connected regarding the

funcoid

u

(

FCD

A

)

.

Theorem 11.30.

A lter

A

is connected regarding a reloid

f

i

A

is connected regarding every

F

2 h"

RLD

i

xyGR

f

.

Proof.

)

.

Obvious.

(

.

A

is connected regarding

"

RLD

F

i

S

(

F

) =

F

0

t

F

1

t

F

2

t

:::

2 A 

RLD

A

.

S

(

f

) =

d

f"

RLD

S

(

F

)

j

F

2

xyGR

f

g w

d

fA 

RLD

A j

F

2

xyGR

f

g

=

RLD

A

.

Conjecture 11.31.

A lter

A

is connected regarding a funcoid

f

i

A

is connected regarding

every

F

2 h"

FCD

i

xyGR

f

.

The above conjecture is open even for the case when

A

is a principal lter.

Conjecture 11.32.

A lter

A

is connected regarding a reloid

f

i it is connected regarding the

funcoid

(

FCD

)

f

.

The above conjecture is true in the special case of principal lters:

Proposition 11.33.

A lter

"

Ob

A

(for a set

A

) is connected regarding an endoreloid

f

i it is

connected regarding the endofuncoid

(

FCD

)

f

.

150

Connectedness regarding funcoids and reloids