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Chapter 11
Connectedness

regarding

funcoids

and

reloids

Denition 11.1.

I will call

endoreloids

and

endofuncoids

reloids and funcoids with the same

source and destination.

[TODO: Move above continuity chapter.]

11.1 Some lemmas

Lemma 11.2.

If

:

(

A

[

f

]

B

)

^

A

[

B

2

dom

f

t

im

f

then

f

is closed on

"

U

A

for a funcoid

f

2

FCD

(

U

;

U

)

for every sets

U

and

A; B

2

P

U

.

Proof.

Let

A

[

B

2

dom

f

t

im

f

.

:

(

A

[

f

]

B

)

, "

U

B

u h

f

i"

U

A

= 0

F

(

U

)

)

(

dom

f

t

im

f

)

u "

U

B

u

h

f

i

A

= 0

F

(

U

)

)

((

dom

f

t

im

f

)

n "

U

A

)

u h

f

i

A

= 0

F

(

U

)

, h

f

i

A

v "

U

A

.

Corollary 11.3.

If

:

(

A

[

f

]

B

)

^

A

[

B

2

dom

f

t

im

f

then

f

is closed on

"

U

(

A

n

B

)

for a funcoid

f

2

FCD

(

U

;

U

)

for every sets

U

and

A; B

2

P

U

.

Proof.

Let

:

(

A

[

f

]

B

)

^

A

[

B

2

dom

f

t

im

f

. Then

:

((

A

n

B

) [

f

]

B

)

^

(

A

n

B

)

[

B

2

dom

f

t

im

f

.

Lemma 11.4.

If

:

(

A

[

f

]

B

)

^

A

[

B

2

dom

f

t

im

f

then

:

(

A

[

f

n

]

B

)

for every whole positive

n

.

Proof.

Let

:

(

A

[

f

]

B

)

^

A

[

B

2

dom

f

t

im

f

. From the above lemma

h

f

i

A

v "

U

A

.

"

U

B

u h

f

i"

U

A

= 0

F

(

U

)

, consequently

h

f

i

A

v "

U

(

A

n

B

)

. Because (by the above corollary)

f

is closed on

"

U

(

A

n

B

)

, then

h

f

ih

f

i"

U

A

v "

U

(

A

n

B

)

,

h

f

ih

f

ih

f

i"

U

A

v "

U

(

A

n

B

)

, etc. So

h

f

n

i"

U

A

v "

U

(

A

n

B

)

,

"

U

B

 h

f

n

i"

U

A

,

:

(

A

[

f

n

]

B

)

.

11.2 Endomorphism series

Denition 11.5.

S

1

(

) =

t

2

t

3

t

:::

for an endomorphism

of a precategory with countable

join of morphisms (that is join dened for every countable set of morphisms).

Denition 11.6.

S

(

) =

0

t

S

1

(

) =

0

t

t

2

t

3

t

:::

where

0

= 1

Ob

(identity morphism

for the object Ob

) where Ob

is the object of endomorphism

for an endomorphism

of a

category with countable join of morphisms.

I call

S

1

and

S

endomorphism series

.

We will consider the collection of all binary relations (on a set

f

), as well as the collection of

all funcoids and the collection of all reloids on a xed set, as categories with single object

f

and

the identity morphisms id

f

, id

FCD

(

f

)

, id

RLD

(

f

)

.

Proposition 11.7.

The relation

S

(

)

is transitive for the category of binary relations.

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