 Proof.

Let

f

2

C

00

(

;

)

. Then

f

f

y

v

;

f

f

y

f

v

f

;

f

1

Src

f

v

f

;

f

v

f

;

f

2

C

(

;

)

.

Let

f

2

C

(

;

)

. Then

f

v

f

;

f

y

f

v

f

y

f

;

1

Src

v

f

y

f

;

v

f

y

f

;

f

2

C

0

(

;

)

.

For entirely dened monovalued morphisms our three denitions of continuity coincide:

Theorem 10.5.

If

f

is a monovalued and entirely dened morphism of a partially ordered dagger

precategory then

f

2

C

0

(

;

)

,

f

2

C

(

;

)

,

f

2

C

00

(

;

)

:

Proof.

From two previous propositions.

The classical general topology theorem that uniformly continuous function from a uniform

space to an other uniform space is proximity-continuous regarding the proximities generated by
the uniformities, generalized for reloids and funcoids takes the following form:

Theorem 10.6.

If an entirely dened morphism of the category of reloids

f

2

C

00

(

;

)

for some

endomorphisms

and

of the category of reloids, then

(

FCD

)

f

2

C

0

((

FCD

)

; (

FCD

)

)

.

Exercise 10.1.

I leave a simple exercise for the reader to prove the last theorem.

10.3 Continuity of a restricted morphism

Consider some partially ordered semigroup. (For example it can be the semigroup of funcoids or
semigroup of reloids on some set regarding the composition.) Consider also some lattice (

lattice of

objects

). (For example take the lattice of set theoretic lters.)

We will map every object

A

to so called

restricted identity

element

I

A

of the semigroup (for

example restricted identity funcoid or restricted identity reloid). For identity elements we will
require

1.

I

A

I

B

=

I

A

u

B

;

2.

f

I

A

v

f

;

I

A

f

v

f

.

In the case when our semigroup is dagger (that is is a dagger precategory) we will require also

(

I

A

)

y

=

I

A

.

We can dene restricting an element

f

of our semigroup to an object

A

by the formula

f

j

A

=

f

I

A

.

We can dene

rectangular restricting

an element

f

of our semigroup to objects

A

and

B

as

I

B

f

I

A

. Optionally we can dene direct product

A

B

of two objects by the formula (true for

funcoids and for reloids):

f

u

(

A

B

) =

I

B

f

I

A

:

Square restricting

of an element

f

to an object

A

is a special case of rectangular restricting and

is dened by the formula

I

A

f

I

A

(or by the formula

f

u

(

A

A

)

).

Theorem 10.7.

For every elements

f

,

,

our semigroup and an object

A

1.

f

2

C

(

;

)

)

f

j

A

2

C

(

I

A

I

A

;

)

;

2.

f

2

C

0

(

;

)

)

f

j

A

2

C

0

(

I

A

I

A

;

)

;

3.

f

2

C

00

(

;

)

)

f

j

A

2

C

00

(

I

A

I

A

;

)

.

(Two last items are true for the case when our semigroup is dagger.)

Proof.

1.

f

j

A

2

C

(

I

A

I

A

;

)

,

f

j

A

I

A

I

A

v

f

j

A

,

f

I

A

I

A

I

A

v

f

j

A

,

f

I

A

I

A

v

f

I

A

(

f

I

A

v

f

(

f

v

f

,

f

2

C

(

;

)

.

2.

f

j

A

2

C

0

(

I

A

I

A

;

)

,

I

A

I

A

v

(

f

j

A

)

y

f

j

A

(

I

A

I

A

v

(

f

I

A

)

y

f

I

A

,

I

A

I

A

v

I

A

f

y

f

I

A

(

v

f

y

f

,

f

2

C

0

(

;

)

.

3.

f

j

A

2

C

00

(

I

A

I

A

;

)

,

f

j

A

I

A

I

A

(

f

j

A

)

y

v

,

f

I

A

I

A

I

A

I

A

f

y

v

,

f

I

A

I

A

f

y

v

(

f

f

y

v

,

f

2

C

00

(

;

)

.

10.3 Continuity of a restricted morphism

145