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Equivalently transforming this formula we get:

8

"

2

GR

9

2

GR

8

(

x

;

y

)

2

:

f

(

fx

;

fy

)

"

;

8

"

2

GR

9

2

GR

8

(

x

;

y

)

2

:

f

 f

(

x

;

y

)

f

¡

1

"

;

8

"

2

GR

9

2

GR

:

f

f

¡

1

"

;

8

"

2

GR

:

"

RLD

(

Ob

;

Ob

)

f

¡

"

RLD

(

Ob

;

Ob

)

f

¡

1

v "

RLD

(

Ob

;

Ob

)

"

;

"

RLD

(

Ob

;

Ob

)

f

¡

"

RLD

(

Ob

;

Ob

)

f

¡

1

v

:

So a function

f

is uniformly continuous i

"

RLD

(

Ob

;

Ob

)

f

¡

"

RLD

(

Ob

;

Ob

)

f

¡

1

v

.

10.2 Our three denitions of continuity

I have expressed dierent kinds of continuity with simple algebraic formulas hiding the complexity
of traditional epsilon-delta notation behind a smart algebra. Let's summarize these three algebraic
formulas:

Let

and

be endomorphisms of some partially ordered precategory. Continuous functions

can be dened as these morphisms

f

of this precategory which conform to the following formula:

f

2

C

(

;

)

,

f

2

Mor

(

Ob

;

Ob

)

^

f

v

f :

If the precategory is a partially ordered dagger precategory then continuity also can be dened in
two other ways:

f

2

C

0

(

;

)

,

f

2

Mor

(

Ob

;

Ob

)

^

v

f

y

f

;

f

2

C

00

(

;

)

,

f

2

Mor

(

Ob

;

Ob

)

^

f

f

y

v

:

Remark 10.1.

In the examples (above) about funcoids and reloids the dagger functor is the

reverse of a funcoid or reloid, that is

f

y

=

f

¡

1

.

Proposition 10.2.

Every of these three denitions of continuity forms a wide sub-precategory

(wide subcategory if the original precategory is a category).

Proof.

C.

Let

f

2

C

(

;

)

,

g

2

C

(

;

)

. Then

f

v

f

,

g

v

g

;

g

f

v

g

f

v

g

f

.

So

g

f

2

C

(

;

)

.

1

Ob

2

C

(

;

)

is obvious.

C

0

.

Let

f

2

C

0

(

;

)

,

g

2

C

0

(

;

)

. Then

v

f

y

f

,

v

g

y

g

;

v

f

y

g

y

g

f

;

v

(

g

f

)

y

(

g

f

)

:

So

g

f

2

C

0

(

;

)

.

1

Ob

2

C

0

(

;

)

is obvious.

C

00

.

Let

f

2

C

00

(

;

)

,

g

2

C

00

(

;

)

. Then

f

f

y

v

,

g

g

y

v

;

g

f

f

y

g

y

v

;

(

g

f

)

(

g

f

)

y

v

:

So

g

f

2

C

00

(

;

)

.

1

Ob

2

C

00

(

;

)

is obvious.

Proposition 10.3.

For a monovalued morphism

f

of a partially ordered dagger category and its

endomorphisms

and

f

2

C

0

(

;

)

)

f

2

C

(

;

)

)

f

2

C

00

(

;

)

:

Proof.

Let

f

2

C

0

(

;

)

. Then

v

f

y

f

;

f

v

f

f

y

f

v

1

Dst

f

f

=

f

;

f

2

C

(

;

)

.

Let

f

2

C

(

;

)

. Then

f

v

f

;

f

f

y

v

f

f

y

v

1

Dst

f

=

;

f

2

C

00

(

;

)

.

Proposition 10.4.

For an entirely dened morphism

f

of a partially ordered dagger category and

its endomorphisms

and

f

2

C

00

(

;

)

)

f

2

C

(

;

)

)

f

2

C

0

(

;

)

:

144

Continuous morphisms