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Chapter 10
Continuous morphisms

This chapter uses the apparatus from the section Partially ordered dagger categories.

10.1 Traditional denitions of continuity

In this section we will show that having a funcoid or reloid

"

f

corresponding to a function

f

we

can express continuity of it by the formula

"

f

v

 "

f

(or similar formulas) where

and

are

some spaces.

10.1.1 Pretopology

Let

(

A

;

cl

A

)

and

(

B

;

cl

B

)

be preclosure spaces. Then by denition a function

f

:

A

!

B

is continuous

i

f

cl

A

(

X

)

cl

B

(

f X

)

for every

X

2

P

A

. Let now

and

be endofuncoids corresponding

correspondingly to cl

A

and cl

B

. Then the condition for continuity can be rewritten as

"

FCD

(

Ob

;

Ob

)

f

v

 "

FCD

(

Ob

;

Ob

)

f :

10.1.2 Proximity spaces

Let

and

be proximity spaces (which I consider a special case of endofuncoids). By denition

a function

f

is a proximity-continuous map (also called equicontinuous) from

to

i

8

X ; Y

2

P

(

Ob

): (

X

[

]

Y

) h

f

i

X

[

]

h

f

i

Y

)

:

Equivalently transforming this formula we get (writing

"

instead of

"

FCD

(

Ob

;

Ob

)

for brevity):

8

X ; Y

2

P

(

Ob

):

¡

X

[

]

Y

) h

f

i

Y

u h

i

h

f

i

X

=

/ 0

F

(

Dst

)

;

8

X ; Y

2

P

(

Ob

):

¡

X

[

]

Y

) h

f

i

Y

u h

 "

f

i

X

=

/ 0

F

(

Dst

)

;

8

X ; Y

2

P

(

Ob

): (

X

[

]

Y

)

X

[

 "

f

]

h

f

i

Y

);

8

X ; Y

2

P

(

Ob

): (

X

[

]

Y

) h

f

i

Y

[(

 "

f

)

¡

1

]

X

);

8

X ; Y

2

P

(

Ob

): (

X

[

]

Y

) h

f

i

Y

[(

"

f

)

¡

1

¡

1

]

X

);

8

X ; Y

2

P

(

Ob

):

¡

X

[

]

Y

) "

Ob

X

u h

(

"

f

)

¡

1

¡

1

i

h

f

i

Y

=

/ 0

F

(

Ob

)

;

8

X ; Y

2

P

(

Ob

):

¡

X

[

]

Y

) "

Ob

X

u h

(

"

f

)

¡

1

¡

1

 "

f

i

Y

=

/ 0

F

(

Ob

)

;

8

X ; Y

2

P

(

Ob

): (

X

[

]

Y

)

Y

[(

"

f

)

¡

1

¡

1

 "

f

]

X

);

8

X ; Y

2

P

(

Ob

): (

X

[

]

Y

)

X

[(

"

f

)

¡

1

 "

f

]

Y

);

v

(

"

f

)

¡

1

 "

f :

So a function

f

is proximity continuous i

v

¡

"

FCD

(

Ob

;

Ob

)

f

¡

1

 "

FCD

(

Ob

;

Ob

)

f

.

10.1.3 Uniform spaces

Uniform spaces are a special case of endoreloids.

Let

and

be uniform spaces. By denition a function

f

is a uniformly continuous map from

to

i

8

"

2

GR

9

2

GR

8

(

x

;

y

)

2

: (

fx

;

fy

)

2

":

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