 A Grothendieck universe is just a set big enough to make all usual set theory inside it. For

example if

f

is a Grothendieck universe, and sets

X ; Y

2

f

, then also

X

[

Y

2

f

,

X

\

Y

2

f

,

X

Y

2

f

, etc.

A set which is a member of a Grothendieck universe is called a

small

set (regarding this

Grothendieck universe). We can restrict our consideration to small sets in order to get rid troubles
with proper classes.

Denition 1.1.

Grothendieck universe

is a set

f

such that:

1. If

x

2

f

and

y

2

x

then

y

2

f

.

2. If

x; y

2

f

, then

f

x; y

g 2

f

.

3. If

x

2

f

then

P

x

2

f

.

4. If

f

x

i

j

i

2

I

2

f

g

is a family of elements of

f

, then

S

i

2

I

x

i

2

f

.

One can deduce from this also:

1. If

x

2

f

, then

f

x

g 2

f

.

2. If

x

is a subset of

y

2

f

, then

x

2

f

.

3. If

x; y

2

f

then the ordered pair

(

x

;

y

) =

ff

x; y

g

; x

g 2

f

.

4. If

x; y

2

f

then

x

[

y

and

x

y

are in

f

.

5. If

f

x

i

j

i

2

I

2

f

g

is a family of elements of

f

, then the product

Q

i

2

I

x

i

2

f

.

6. If

x

2

f

, then the cardinality of

x

is strictly less than the cardinality of

f

.

1.8.2 Misc

In this book quantiers bind tightly. That is

8

x

2

A

:

P

(

x

)

^

Q

and

8

x

2

A

:

P

(

x

)

)

Q

should be

(

8

x

2

A

:

P

(

x

))

^

Q

and

(

8

x

2

A

:

P

(

x

))

)

Q

not

8

x

2

A

: (

P

(

x

)

^

Q

)

and

8

x

2

A

: (

P

(

x

)

)

Q

)

.

The set of functions from a set

A

to a set

B

is denoted as

B

A

.

I will often skip parentheses and write

fx

f

(

x

)

to denote the result of a function

f

acting on the argument

x

.

I will denote

h

f

i

X

=

f

f

j

2

X

g

and

X

[

f

]

Y

, 9

x

2

X ; y

2

Y

:

x f y

for sets

X

,

Y

and a binary

relation

f

. (Note that functions are a special case of binary relations.)

By just

h

f

i

and

[

f

]

I will denote the corresponding function and relation on small sets.

x

2

D

:

f

(

x

) =

f

(

x

;

f

(

x

))

j

x

2

D

g

for a set

D

and and a form

f

depending on the variable

x

.

I will denote source and destination of a morphism

f

of any category (See Common knowledge,

part 1 chapter for a denition of a category.) as Src

f

and Dst

f

correspondingly. Note that below

dened domain and image of a funcoid are not the same as it source and destination.

I will denote GR

(

A

;

B

;

f

) =

f

for any morphism

(

A

;

B

;

f

)

of either Set or Rel.

I will denote

h

f

i

=

h

GR

f

i

and

[

f

]=[

GR

f

]

for any morphism

f

of either Set or Rel.

1.9 Unusual notation

In the chapter

2

(which you may skip reading if you are already knowledgeable) some non-standard

notation is dened. I summarize here this notation for the case if you choose to skip reading that
chapter:

Partial order is denoted as

v

.

Meets and joins are denoted as

u

,

t

,

d

,

F

.

I call element

b

substractive

from an elements

a

(of a distributive lattice

A

) when the dierence

a

n

b

exists. I call

b

complementive

to

a

when there exist

c

2

A

such that

b

u

c

= 0

and

b

t

c

=

a

. We

will prove that

b

is complementive to

a

i

b

is substractive from

a

and

b

v

a

.

Denition 1.2.

Call

a

and

b

of a poset

A

intersecting

, denoted

a

/

b

, when there exists a non-

least element

c

such that

c

v

a

^

c

v

b

.

14

Introduction