background image

3. A reloid

f

is a both monovalued and injective i there exists an injection (a monovalued

and injective binary relation = injective function)

F

2

GR

f

.

Proof.

The reverse implications are obvious. Let's prove the direct implications:

1. Let

f

be a monovalued reloid. Then

f

f

¡

1

v

id

RLD

(

Dst

f

)

. So there exists

h

2

GR

(

f

f

¡

1

) =

GR

l

"

RLD

(

Dst

f

;

Dst

f

)

(

F

F

¡

1

)

j

F

2

GR

f

 

such that

"

RLD

(

Dst

f

;

Dst

f

)

h

v

id

RLD

(

Dst

f

)

. It's simple to show that

f

F

F

¡

1

j

F

2

GR

f

g

is

a lter base. Consequently there exists

F

2

GR

f

such that

F

F

¡

1

id

Dst

f

that is

F

is a

function.

2. Similar.
3. Let

f

be a both monovalued and injective reloid. Then by proved above there exist

F ;

G

2

GR

f

such that

F

is monovalued and

G

is injective. Thus

F

\

G

2

GR

f

is both

monovalued and injective.

Conjecture 7.43.

A reloid

f

is monovalued i

8

g

2

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

): (

g

v

f

) 9A 2

F

(

Src

f

):

g

=

f

j

A

)

:

7.7 Complete reloids and completion of reloids

Definition 7.44.

A

complete

reloid is a reloid representable as a join of reloidal products

"

A

f

RLD

b

where

2

A

and

b

is an ultralter on

B

for some sets

A

and

B

.

Denition 7.45.

A

co-complete

reloid is a reloid representable as a join of reloidal products

a

RLD

"

B

f

g

where

2

B

and

a

is an ultralter on

A

for some sets

A

and

B

.

I will denote the sets of complete and co-complete reloids correspondingly as Compl

RLD

and

CoCompl

RLD

.

Obvious 7.46.

Complete and co-complete are dual.

Theorem 7.47.

1. A reloid

f

is complete i there exists a function

G

:

Src

f

!

F

(

Dst

f

)

such that

f

=

G

f"

Src

f

f

RLD

G

(

)

j

2

Src

f

g

:

(7.1)

2. A reloid

f

is co-complete i there exists a function

G

:

Dst

f

!

F

(

Src

f

)

such that

f

=

G

f

G

(

)

RLD

"

Dst

f

f

g j

2

Dst

f

g

:

Proof.

We will prove only the rst as the second is symmetric.

)

.

Let

f

be complete. Then take

G

(

) =

b

2

atoms

F

(

Dst

f

)

j "

Src

f

f

RLD

b

v

f

 

and we have (

7.1

obviously.

(

.

Let (

7.1

hold. Then

G

(

) =

F

atoms

G

(

)

and thus

f

=

G

f"

Src

f

f

RLD

b

j

2

Src

f ; b

2

atoms

G

(

)

g

and so

f

is complete.

Obvious 7.48.

Complete and co-complete reloids are convex.

7.7 Complete reloids and completion of reloids

127