 Chapter 7
Reloids

7.1 Basic denitions

Denition 7.1.

I call a

reloid

from a set

A

to a set

B

a triple

(

A

;

B

;

F

)

where

F

2

F

(

A

B

)

.

Denition 7.2.

Source

and

destination

of every reloid

(

A

;

B

;

F

)

are dened as

Src

(

A

;

B

;

F

) =

A

and Dst

(

A

;

B

;

F

) =

B:

I will denote

RLD

(

A

;

B

)

the set of reloids from

A

to

B

.

I will denote

RLD

the set of all reloids (for small sets).

Denition 7.3.

GR

(

A

;

B

;

F

) =

def

F

, xyGR

(

A

;

B

;

F

) =

def

f

(

A

;

B

;

K

)

j

K

2

F

g

for every reloid

(

A

;

B

;

F

)

.

Note that xyGR

(

A

;

B

;

F

)

is a set of morphisms of the category Rel.

Denition 7.4.

"

RLD

(

A

;

B

)

f

=

def

(

A

;

B

;

"

A

B

f

)

for every relation

f

2

P

(

A

B

)

.

"

RLD

f

= (

Src

f

;

Dst

f

;

"

Src

f

Dst

f

GR

f

)

for every Rel-morphism

f

.

Denition 7.5.

I call members of a set

h"

RLD

i

Rel

(

A

;

B

)

as

principal

reloids.

Reloids are a generalization of uniform spaces. Also reloids are generalization of binary rela-

tions.

Denition 7.6.

The

reverse

reloid of a reloid is dened by the formula

(

A

;

B

;

F

)

¡

1

= (

B

;

A

;

f

K

¡

1

j

K

2

F

g

)

:

Note 7.7.

The reverse reloid is

not

an inverse in the sense of group theory or category theory.

Reverse reloid is a generalization of conjugate quasi-uniformity.

Denition 7.8.

Every set

RLD

(

A

;

B

)

is a poset by the formula

f

v

g

,

GR

f

v

GR

g

. We will

apply lattice operations to subsets of

RLD

(

A

;

B

)

without explicitly mentioning

RLD

(

A

;

B

)

.

Obvious 7.9.

The poset

RLD

(

A

;

B

)

is isomorphic to the poset

F

(

A

B

)

for every sets

A

,

B

.

7.2 Composition of reloids

Denition 7.10.

Reloids

f

and

g

are

composable

when Dst

f

=

Src

g

.

Denition 7.11.

Composition

of (composable) reloids is dened by the formula

g

f

=

l

f"

RLD

(

G

F

)

j

F

2

xyGR

f ; G

2

xyGR

g

g

:

Obvious 7.12.

Composition of reloids is a reloid.

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