 Conjecture 6.152.

Every metamonovalued funcoid is monovalued.

6.15

T

0

-,

T

1

-,

T

2

-, and

T

3

-separable funcoids

For funcoids it can be generalized

T

0

-,

T

1

-,

T

2

-, and

T

3

- separability. Worthwhile note that

T

0

and

T

2

separability is dened through

T

1

separability.

Denition 6.153.

Let call

T

1

-separable

such endofuncoid

f

that for every

2

Ob

f

is true

=

/

) :

(

f

g

[

f

]

f

g

)

:

Proposition 6.154.

An endofuncoid

f

is

T

1

-separable i Cor

f

v

id

FCD

(

Ob

f

)

.

Proof.

8

x; y

2

Ob

f

: (

f

x

g

[

f

]

f

y

g )

x

=

y

)

, 8

x; y

2

Ob

f

: (

f

x

g

[

Cor

f

]

f

y

g )

x

=

y

)

,

Cor

f

v

id

FCD

(

Ob

f

)

.

Denition 6.155.

Let call

T

0

-separable

such funcoid

f

2

FCD

(

A

;

A

)

that

f

u

f

¡

1

is

T

1

-separable.

Denition 6.156.

Let call

T

2

-separable

such funcoid

f

that

f

¡

1

f

is

T

1

-separable.

For symmetric transitive funcoids

T

1

- and

T

2

-separability are the same (see theorem

3.51

).

Obvious 6.157.

A funcoid

f

is

T

2

-separable i

=

/

) h

f

i

f

a

g  h

f

i

f

g

for every

2

Src

f

.

Denition 6.158.

Regular funcoid

is an endofuncoid

f

such that

h

f

ih

f

¡

1

i

C

h

f

i

f

p

g (

p

2

/

C

for every

p

2

Ob

f

and

C

2

P

Ob

f

.

Obvious 6.159.

Funcoid

f

is regular i:

1.

h

f

f

¡

1

i

C

h

f

i

f

p

g (

p

2

/

C

;

2.

h

f

¡

1

f

f

¡

1

i

C

"

Ob

f

f

p

g (

p

2

/

C

;

3.

h

f

¡

1

f

f

¡

1

i

C

v "

Ob

f

C

;

4.

f

¡

1

f

f

¡

1

v

id

FCD

(

Ob

f

)

.

Denition 6.160.

An endofuncoid is

T

3

- i it is both

T

2

- and regular.

6.16 Filters closed regarding a funcoid

Denition 6.161.

Let's call

closed

regarding a funcoid

f

2

FCD

(

A

;

A

)

such lter

A 2

F

(

Src

f

)

that

h

f

iA v A

.

This is a generalization of closedness of a set regarding an unary operation.

Proposition 6.162.

If

I

and

J

are closed (regarding some funcoid

f

),

S

is a set of closed lters

on Src

f

, then

1.

I t J

is a closed lter;

2.

d

S

is a closed lter.

Proof.

Let denote the given funcoid as

f

.

h

f

i

(

I t J

) =

h

f

iI th

f

iJ v I t J

,

h

f

i

d

S

v

d

hh

f

ii

S

v

d

S

. Consequently the lters

I t J

and

d

S

are closed.

Proposition 6.163.

If

S

is a set of lters closed regarding a complete funcoid, then the lter

F

S

is also closed regarding our funcoid.

Proof.

h

f

i

F

S

=

F

hh

f

ii

S

v

F

S

where

f

is the given funcoid.

6.16 Filters closed regarding a funcoid

119