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In other words, a funcoid is monovalued (injective) when it is a monovalued (injective) mor-

phism of the category of funcoids. Monovaluedness is dual of injectivity.

Obvious 6.146.

1. A morphism

(

A

;

B

;

f

)

of the category of funcoid triples is monovalued i the funcoid

f

is

monovalued.

2. A morphism

(

A

;

B

;

f

)

of the category of funcoid triples is injective i the funcoid

f

is

injective.

Theorem 6.147.

The following statements are equivalent for a funcoid

f

:

1.

f

is monovalued.

2.

8

a

2

atoms

F

(

Src

f

)

:

h

f

i

a

2

atoms

F

(

Dst

f

)

[

0

F

(

Dst

f

)

 

.

3.

8I

;

J 2

F

(

Dst

f

):

h

f

¡

1

i

(

I u J

) =

h

f

¡

1

iI u h

f

¡

1

iJ

.

4.

8

I ; J

2

P

(

Dst

f

):

h

f

¡

1

i

(

I

\

J

) =

h

f

¡

1

i

I

u h

f

¡

1

i

J

.

Proof.

(

2

)

)

(

3

).

Let

a

2

atoms

F

(

Src

f

)

,

h

f

i

a

=

b

. Then because

b

2

atoms

F

(

Dst

f

)

[

0

F

(

Dst

f

)

 

(

I u J

)

u

b

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

, I u

b

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

^ J u

b

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

;

a

[

f

]

I u J ,

a

[

f

]

I ^

a

[

f

]

J

;

I u J

[

f

¡

1

]

a

, I

[

f

¡

1

]

a

^ J

[

f

¡

1

]

a

;

a

u h

f

¡

1

i

(

I u J

) =

/ 0

F

(

Src

f

)

,

a

u h

f

¡

1

iI

=

/ 0

F

(

Src

f

)

^

a

u h

f

¡

1

iJ

=

/ 0

F

(

Src

f

)

;

h

f

¡

1

i

(

I u J

) =

h

f

¡

1

iI u h

f

¡

1

iJ

:

(

3

)

)

(

1

).

h

f

¡

1

i

a

u h

f

¡

1

i

b

=

h

f

¡

1

i

(

a

u

b

) =

h

f

¡

1

i

0

F

(

Dst

f

)

= 0

F

(

Src

f

)

for every two distinct

ultralters

a

and

b

on Dst

f

. This is equivalent to

:

(

h

f

¡

1

i

a

[

f

]

b

)

;

b

 h

f

ih

f

¡

1

i

a

;

b

h

f

f

¡

1

i

a

;

:

(

a

[

f

f

¡

1

]

b

)

. So

a

[

f

f

¡

1

]

b

)

a

=

b

for every ultralters

a

and

b

. This is

possible only when

f

f

¡

1

v

id

FCD

(

Dst

f

)

.

(

4

)

)

(

3

).

h

f

¡

1

i

(

I u J

) =

d

hh

f

¡

1

i

i

(

I u J

) =

d

hh

f

¡

1

i

if

I

\

J

j

I

2 I

; J

2 J g

=

d

fh

f

¡

1

i

(

I

\

J

)

j

I

2 I

; J

2 J g

=

d

fh

f

¡

1

i

I

u h

f

¡

1

i

J

j

I

2 I

; J

2 J g

=

d

fh

f

¡

1

i

I

j

I

2

I g u

d

fh

f

¡

1

i

J

j

J

2 J g

=

h

f

¡

1

iI u h

f

¡

1

iJ

.

(

3

)

)

(

4

).

Obvious.

:

(

2

)

):

(

1

).

Suppose

h

f

i

a

2

/

atoms

F

(

Dst

f

)

[

0

F

(

Dst

f

)

 

for some

a

2

atoms

F

(

Src

f

)

. Then

there exist two atomic lters

p

and

q

on Dst

f

such that

p

=

/

q

and

h

f

i

a

w

p

^ h

f

i

a

w

q

.

Consequently

p

/

h

f

i

a

;

a

/

h

f

¡

1

i

p

;

a

v h

f

¡

1

i

p

;

h

f

f

¡

1

i

p

=

h

f

ih

f

¡

1

i

p

w h

f

i

a

w

q

;

h

f

f

¡

1

i

p

v

p

and

h

f

f

¡

1

i

p

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

. So it cannot be

f

f

¡

1

v

id

FCD

(

Dst

f

)

.

Corollary 6.148.

A binary relation corresponds to a monovalued funcoid i it is a function.

Proof.

Because

8

I ; J

2

P

(

im

f

):

h

f

¡

1

i

(

I

\

J

) =

h

f

¡

1

i

I

u h

f

¡

1

i

J

is true for a funcoid

f

corresponding to a binary relation if and only if it is a function.

Remark 6.149.

This corollary can be reformulated as follows: For binary relations (principal

funcoids) the classic concept of monovaluedness and monovaluedness in the above dened sense of
monovaluedness of a funcoid are the same.

Proposition 6.150.

Every monovalued funcoid is metamonovalued.

Proof.

h

(

d

G

)

f

i

x

=

h

d

G

ih

f

i

x

=

d

g

2

G

h

g

ih

f

i

x

=

d

g

2

G

h

g

f

i

x

=

d

g

2

G

(

g

f

)

x

for every

ultralter

x

2

atoms

F

(

Src

f

)

. Thus

(

d

G

)

f

=

d

g

2

G

(

g

f

)

.

Corollary 6.151.

Every injective funcoid is metainjective.

118

Funcoids