 Proposition 6.139.

For every composable funcoids

f

and

g

1. Compl

(

g

(

Compl

f

)) =

Compl

(

g

f

)

;

2. CoCompl

((

CoCompl

g

)

f

) =

CoCompl

(

g

f

)

.

Proof.

1.

h

g

(

Compl

f

)

i

f

x

g

=

h

g

ih

Compl

f

i

f

x

g

=

h

g

ih

f

i

f

x

g

=

h

g

f

i

f

x

g

.

Thus Compl

(

g

(

Compl

f

)) =

Compl

(

g

f

)

.

2.

(

Compl

(

g

(

Compl

f

)))

¡

1

= (

Compl

(

g

f

))

¡

1

; CoCompl

(

g

(

Compl

f

))

¡

1

=

CoCompl

(

g

f

)

¡

1

; CoCompl

((

Compl

f

)

¡

1

g

¡

1

) =

CoCompl

(

f

¡

1

g

¡

1

)

; CoCompl

((

CoCompl

f

¡

1

)

g

¡

1

) =

CoCompl

(

f

¡

1

g

¡

1

)

. After variable replacement CoCompl

((

CoCompl

g

)

f

) =

CoCompl

(

g

f

)

.

6.13.1.1 Open maps

Denition 6.140.

An

open map

from a topological space to a topological space is a function

which maps open sets into open sets.

An obvious generalization of this is

open map

f

from an endofuncoid

to an endofuncoid

,

which is by denition a function (or rather a principal, entirely dened, monovalued funcoid) from
Ob

to Ob

such that

8

x

2

Ob

; V

2 h

i

f

x

g

:

h

f

i

V

w h

ih

f

i

f

x

g

:

This formula is equivalent (exercise!) to

8

x

2

Ob

:

h

f

ih

i

f

x

g w h

ih

f

i

f

x

g

:

It can be abstracted/simplied further (now for an

arbitrary

funcoid

f

from Ob

to Ob

):

Compl

(

f

)

w

Compl

(

f

)

:

Denition 6.141.

An

open funcoid

from an endofuncoid

to an endofuncoid

is a funcoid

f

from Ob

to Ob

such that Compl

(

f

)

w

Compl

(

f

)

.

Theorem 6.142.

Let

,

,

be endofuncoids. Let

f

be a co-complete open funcoid from Ob

to

Ob

and

g

is an open funcoid from Ob

to Ob

. Then

g

f

is an open funcoid from Ob

to Ob

.

Proof.

Let Compl

(

f

)

w

Compl

(

f

)

and Compl

(

g

)

w

Compl

(

g

)

.

Compl

(

g

f

)

w

Compl

(

g

Compl

(

f

))

w

Compl

(

g

Compl

(

f

)) =

Compl

(

g

Compl

(

)

f

) =

Compl

(

g

Compl

(

))

f

=

Compl

(

g

)

f

w

Compl

(

g

)

f

=

Compl

(

g

f

)

:

Obvious 6.143.

A funcoid

f

is open i

f

w

Compl

(

f

)

.

Corollary 6.144.

A co-complete funcoid

f

is open i

f

w

(

Compl

)

f

. Thus

f

is open i it

is a continuous morphism from

to Compl

with the reverse order of funcoids

. (See a denition

of a continuous morphism below.)

6.14 Monovalued and injective funcoids

Following the idea of denition of monovalued morphism let's call

monovalued

such a funcoid

f

that

f

f

¡

1

v

id

im

f

FCD

.

Similarly, I will call a funcoid

injective

when

f

¡

1

f

v

id

dom

f

FCD

.

Obvious 6.145.

A funcoid

f

is:

monovalued i

f

f

¡

1

v

id

FCD

(

Dst

f

)

;

injective i

f

¡

1

f

v

id

FCD

(

Src

f

)

.

6.14 Monovalued and injective funcoids

117