background image

consequently

l

f

g

(

X

;

Y

)

j

X

2

P

A; Y

2 h

f

i

X

g

X

v h

f

i

X

that is

l

f

g

(

X

;

Y

)

j

X

2

P

A; Y

2 h

f

i

X

g v

f

and nally

f

=

l

f

g

(

X

;

Y

)

j

X

2

P

A; Y

2 h

f

i

X

g

:

Theorem 6.109.

1.

g

is metacomplete if

g

is a complete funcoid.

2.

g

is co-metacomplete if

g

is a co-complete funcoid.

Proof.

1. Let

R

be funcoids from a set

A

to a set

B

and

g

from

B

to some

C

. Then

h

g

F

R

i

X

=

h

g

ih

F

R

i

X

=

h

g

i

F

fh

f

i

X

j

f

2

R

g

=

F

fh

g

ih

f

i

X

j

f

2

R

g

=

F

fh

g

f

i

X

j

f

2

R

g

=

h

F

f

g

f

j

f

2

R

gi

X

=

h

F

h

g

 i

R

i

X

for every set

X

A

. So

g

(

F

R

) =

F

h

g

 i

R

.

2. By duality.

Conjecture 6.110.

g

is complete if

g

is a metacomplete funcoid.

I will denote Compl

FCD

and CoCompl

FCD

the sets of small complete and co-complete fun-

coids correspondingly. Compl

FCD

(

A

;

B

)

are complete funcoids from

A

to

B

and likewise with

CoCompl

FCD

(

A

;

B

)

.

Obvious 6.111.

Compl

FCD

and CoCompl

FCD

are closed regarding composition of funcoids.

Proposition 6.112.

Compl

FCD

and CoCompl

FCD

(with induced order) are complete lattices.

Proof.

It follows from the theorem

6.106

.

Theorem 6.113.

Atoms of the lattice Compl

FCD

(

A

;

B

)

are exactly funcoidal products of the

form

"

A

f

FCD

b

where

2

A

and

b

is an ultralter on

B

.

Proof.

First, it's easy to see that

"

A

f

FCD

b

are elements of Compl

FCD

(

A

;

B

)

. Also

0

FCD

(

A

;

B

)

is an element of Compl

FCD

(

A

;

B

)

.

"

A

f

FCD

b

are atoms of Compl

FCD

(

A

;

B

)

because they are atoms of

FCD

(

A

;

B

)

.

It remains to prove that if

f

is an atom of Compl

FCD

(

A

;

B

)

then

f

=

"

A

f

FCD

b

for some

2

A

and an ultralter

b

on

B

.

Suppose

f

2

FCD

(

A

;

B

)

is a non-empty complete funcoid. Then there exists

2

A

such

that

h

f

i

f

g

=

/ 0

F

(

B

)

. Thus

"

A

f

FCD

b

v

f

for some ultralter

b

on

B

. If

f

is an atom then

f

=

"

A

f

FCD

b

.

Theorem 6.114.

1. A funcoid

f

is complete i there exists a function

G

:

Src

f

!

F

(

Dst

f

)

such that

f

=

G

f"

Src

f

f

FCD

G

(

)

j

2

Src

f

g

:

(6.10)

2. A funcoid

f

is co-complete i there exists a function

G

:

Dst

f

!

F

(

Src

f

)

such that

f

=

G

f

G

(

)

FCD

"

Dst

f

f

g j

2

Dst

f

g

:

Proof.

We will prove only the rst as the second is symmetric.

)

.

Let

f

be complete. Then take

G

(

) =

b

2

atoms

F

(

Dst

f

)

j "

Src

f

f

FCD

b

v

f

 

6.11 Complete funcoids

113