background image

From this follows (

2

).

(

6

)

)

(

5

).

h

f

i

S

S

=

F

fh

f

i

f

a

g j

a

2

S

S

g

=

F S

ffh

f

i

f

a

g j

a

2

A

g j

A

2

S

g

=

F

f

F

fh

f

i

f

a

g j

a

2

A

g j

A

2

S

g

=

F

fh

f

i

A

j

A

2

S

g

=

F

hh

f

i

i

S

.

(

2

)

)

(

4

).

"

Dst

f

J

/

h

f

i

F

S

,

F

S

[

f

]

"

Dst

f

J

, 9I 2

S

:

I

[

f

]

"

Dst

f

J

, 9I 2

S

:

"

Dst

f

J

/

h

f

iI ,

"

Dst

f

J

/

F

hh

f

ii

S

(used theorem

4.215

).

(

2

)

)

(

3

), (

4

)

)

(

5

), (

5

)

)

(

3

), (

5

)

)

(

6

).

Obvious.

The following proposition shows that complete funcoids are a direct generalization of pretopo-

logical spaces.

Proposition 6.104.

To specify a complete funcoid

f

it is enough to specify

h

f

i

on one-element

sets, values of

h

f

i

on one element sets can be specied arbitrarily.

Proof.

From the above theorem is clear that knowing

h

f

i

on one-element sets

h

f

i

can be found

on every set and then the value of

h

f

i

can be inferred for every lter.

Choosing arbitrarily the values of

h

f

i

on one-element sets we can dene a complete funcoid

the following way:

h

f

i

X

=

F

fh

f

i

f

g j

2

X

g

for every

X

2

P

(

Src

f

)

. Obviously it is really a

complete funcoid.

Theorem 6.105.

A funcoid is principal i it is both complete and co-complete.

Proof.

)

.

Obvious.

(

.

Let

f

be both a complete and co-complete funcoid. Consider the relation

g

dened by

that

"

Dst

f

h

g

if

g

=

h

f

i

f

g

(

g

is correctly dened because

f

corresponds to a generalized

closure). Because

f

is a complete funcoid

f

is the funcoid corresponding to

g

.

Theorem 6.106.

If

R

2

P

FCD

(

A

;

B

)

is a set of (co-)complete funcoids then

F

R

is a (co-)complete

funcoid (for every sets

A

and

B

).

Proof.

It is enough to prove for co-complete funcoids. Let

R

2

P

FCD

(

A

;

B

)

be a set of co-complete

funcoids. Then for every

X

2

P

(

Src

f

)

G

R

X

=

G

fh

f

i

X

j

f

2

R

g

is a principal lter (used theorem

6.37

).

Corollary 6.107.

If

R

is a set of binary relations between sets

A

and

B

then

"

FCD

(

A

;

B

)

R

=

"

FCD

(

A

;

B

)

S

R

.

Proof.

From two last theorems.

Theorem 6.108.

Filtrators of funcoids are ltered.

Proof.

It's enough to prove that every funcoid is representable as an (innite) meet (on the lattice

FCD

(

A

;

B

)

) of some set of principal funcoids.

Let

f

2

FCD

(

A

;

B

)

,

X

2

P

A

,

Y

2 h

f

i

X

,

g

(

X

;

Y

) =

def

"

A

X

FCD

"

B

Y

t "

A

X

FCD

1

F

(

B

)

. For every

K

2

P

A

h

g

(

X

;

Y

)

i

K

=

h"

A

X

FCD

"

B

Y

i

K

t

"

A

X

FCD

1

F

(

B

)

K

=

0

B

B

B

@

8

>

<

>

:

0

F

(

B

)

if

K

=

;

"

B

Y

if

;

=

/

K

X

1

F

(

B

)

if

K

*

X

1

C

C

C

A

w h

f

i

K

;

so

g

(

X

;

Y

)

w

f

. For every

X

2

P

A

l

fh

g

(

X

;

Y

)

i

X

j

Y

2 h

f

i

X

g

=

l

f"

B

Y

j

Y

2 h

f

i

X

g

=

h

f

i

X

;

112

Funcoids