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Theorem 6.95.

Let

f

be a funcoid.

1.

X

[

f

]

Y , 9

F

2

atoms

f

:

X

[

F

]

Y

for every

X 2

F

(

Src

f

)

,

Y 2

F

(

Dst

f

)

;

2.

h

f

iX

=

F

F

2

atoms

f

h

F

iX

for every

X 2

F

(

Src

f

)

.

Proof.

1.

9

F

2

atoms

f

:

X

[

F

]

Y , 9

a

2

atoms

F

(

Src

f

)

; b

2

atoms

F

(

Dst

f

)

: (

a

FCD

b

/

f

^ X

[

a

FCD

b

]

Y

)

, 9

a

2

atoms

F

(

Src

f

)

; b

2

atoms

F

(

Dst

f

)

: (

a

FCD

b

/

f

^

a

FCD

b

/

FCD

Y

)

, 9

F

2

atoms

f

:

(

F

/

f

^

F

/

FCD

Y

)

,

f

/

FCD

Y , X

[

f

]

Y

.

2. Let

Y 2

F

(

Dst

f

)

. Suppose

/

h

f

iX

. Then

X

[

f

]

Y

;

9

F

2

atoms

f

:

X

[

F

]

Y

;

9

F

2

atoms

f

:

/

h

F

iX

;

/

F

F

2

atoms

f

h

F

iX

. So

h

f

iX v

F

F

2

atoms

f

h

F

iX

. The contrary

h

f

iX w

F

F

2

atoms

f

h

F

iX

is obvious.

Problem 6.96.

Let

A

and

B

be innite sets. Characterize the set of all coatoms of the lattice

FCD

(

A

;

B

)

of funcoids from

A

to

B

. Particularly, is this set empty? Is

FCD

(

A

;

B

)

a coatomic

lattice? coatomistic lattice?

6.11 Complete funcoids

Denition 6.97.

I will call

co-complete

such a funcoid

f

that

h

f

i

X

is a principal lter for every

X

2

P

(

Src

f

)

.

Obvious 6.98.

Funcoid

f

is co-complete i

h

f

iX 2

P

for every

X 2

P

.

Denition 6.99.

I will call

generalized closure

such a function

2

(

P

B

)

P

A

(for some sets

A

,

B

)

that

1.

;

=

;

;

2.

8

I ; J

2

P

A

:

(

I

[

J

) =

I

[

J

.

Obvious 6.100.

A funcoid

f

is co-complete i

h

f

i

=

"

Dst

f

for a generalized closure

.

Remark 6.101.

Thus funcoids can be considered as a generalization of generalized closures. A

topological space in Kuratowski sense is the same as reexive and transitive generalized closure.
So topological spaces can be considered as a special case of funcoids.

Denition 6.102.

I will call a

complete funcoid

a funcoid whose reverse is co-complete.

Theorem 6.103.

The following conditions are equivalent for every funcoid

f

:

1. funcoid

f

is complete;

2.

8

S

2

P

F

(

Src

f

)

; J

2

P

(

Dst

f

): (

F

S

[

f

]

"

Dst

f

J

, 9I 2

S

:

I

[

f

]

"

Dst

f

J

)

;

3.

8

S

2

PP

(

Src

f

)

; J

2

P

(

Dst

f

): (

S

S

[

f

]

J

, 9

I

2

S

:

I

[

f

]

J

)

;

4.

8

S

2

P

F

(

Src

f

):

h

f

i

F

S

=

F

hh

f

ii

S

;

5.

8

S

2

PP

(

Src

f

):

h

f

i

S

S

=

F

hh

f

i

i

S

;

6.

8

A

2

P

(

Src

f

):

h

f

i

A

=

F

fh

f

i

f

a

g j

a

2

A

g

.

Proof.

(

3

)

)

(

1

).

For every

S

2

PP

(

Src

f

)

,

J

2

P

(

Dst

f

)

"

Src

f

[

S

u h

f

¡

1

i

J

=

/ 0

F

(

Src

f

)

, 9

I

2

S

:

"

Src

f

I

u h

f

¡

1

i

J

=

/ 0

F

(

Src

f

)

;

consequently by proposition

4.215

we have that

h

f

¡

1

i

J

is a principal lter.

(

1

)

)

(

2

).

For every

S

2

P

F

(

Src

f

)

,

J

2

P

(

Dst

f

)

we have

h

f

¡

1

i

J

is a principal lter,

consequently

G

S

u h

f

¡

1

i

J

=

/ 0

F

(

Src

f

)

, 9I 2

S

:

I u h

f

¡

1

i

J

=

/ 0

F

(

Src

f

)

:

6.11 Complete funcoids

111