background image

Chapter 1
Introduction

For related materials, articles, research questions, and erratum consult the Web page of the author
of the book:

http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html

1.1 Draft status

This is a draft.

1.2 Intended audience

This book is suitable for any math student as well as for researchers.

To make this book be understandable even for rst grade students, I made a chapter about

basic concepts (posets, lattices, topological spaces, etc.), which an already knowledgeable person
may skip reading. It is assumed that the reader knows basic set theory.

But it is also valuable for mature researchers, as it contains much original research which you

could not nd in any other source except of my work.

Knowledge of the basic set theory is expected from the reader.
Despite that this book presents new research, it is well structured and is suitable to be used as

a textbook for a college course.

Your comments about this book are welcome to the email

porton@narod.ru

.

1.3 Reading Order

If you know basic order and lattice theory (including Galois connections and brouwerian lattices)
and basics of category theory, you may skip reading the chapter

2

(Common knowledge, part 1).

You are recommended to read the rest of this book by the order.

1.4 Our topic and rationale

From [

38

]:

Point-set topology, also called set-theoretic topology or general topology, is the study

of the general abstract nature of continuity or "closeness" on spaces. Basic point-set topological
notions are ones like continuity, dimension, compactness, and connectedness.

In this work we study a new approach to point-set topology (and pointfree topology).
Traditionally general topology is studied using topological spaces (dened below in the section

5.3

). I however argue that the theory of topological spaces is not the best method of studying

general topology and introduce an alternative theory, the theory of

funcoids

. Despite of popularity

of the theory of topological spaces it has some drawbacks and is in my opinion not the most
appropriate formalism to study most of general topology. Because topological spaces are tailored
for study of special sets, so called open and closed sets, studying general topology with topological
spaces is a little anti-natural and ugly. In my opinion the theory of funcoids is more elegant than
the theory of topological spaces, and it is better to study funcoids than topological spaces. One
of the main purposes of this work is to present an alternative General Topology based on funcoids
instead of being based on topological spaces as it is customary. In order to study funcoids the
prior knowledge of topological spaces is not necessary. Nevertheless in this work I will consider
topological spaces and the topic of interrelation of funcoids with topological spaces.

11