background image

Thus

F

hA 

FCD

i

S

=

FCD

F

S

and

d

hA 

FCD

i

S

=

FCD

d

S

.

If

A

=

/ 0

F

(

A

)

then obviously the function

FCD

is injective.

The following proposition states that cutting a rectangle of atomic width from a funcoid always

produces a rectangular (representable as a funcoidal product of lters) funcoid (of atomic width).

Proposition 6.82.

If

f

is a funcoid and

a

is an atomic lter on Src

f

then

f

j

a

=

a

FCD

h

f

i

a:

Proof.

Let

X 2

F

(

Src

f

)

.

/

a

) h

f

j

a

iX

=

h

f

i

a;

a

) h

f

j

a

iX

= 0

F

(

Dst

f

)

:

6.10 Atomic funcoids

Theorem 6.83.

An

f

2

FCD

(

A

;

B

)

is an atom of the lattice

FCD

(

A

;

B

)

(for some sets

A

,

B

) i

it is a funcoidal product of two ultralters.

Proof.

)

.

Let

f

2

FCD

(

A

;

B

)

be an atom of the lattice

FCD

(

A

;

B

)

. Let's get elements

a

2

atoms dom

f

and

b

2

atoms

h

f

i

a

. Then for every

X 2

F

(

A

)

a

) h

a

FCD

b

iX

= 0

F

(

B

)

v h

f

iX

;

/

a

) h

a

FCD

b

iX

=

b

v h

f

iX

:

So

a

FCD

b

v

f

; because

f

is atomic we have

f

=

a

FCD

b

.

(

.

Let

a

2

atoms

F

(

A

)

,

b

2

atoms

F

(

B

)

,

f

2

FCD

(

A

;

B

)

. If

b

 h

f

i

a

then

:

(

a

[

f

]

b

)

,

f

a

FCD

b

;

if

b

v h

f

i

a

then

8X 2

F

(

A

): (

/

a

) h

f

iX w

b

)

,

f

w

a

FCD

b

. Consequently

f

a

FCD

b

_

f

w

a

FCD

b

; that is

a

FCD

b

is an atom.

Theorem 6.84.

The lattice

FCD

(

A

;

B

)

is atomic (for every sets

A

,

B

).

Proof.

Let

f

be a non-empty funcoid from

A

to

B

. Then dom

f

=

/ 0

F

(

A

)

, thus by the theorem

4.207

there exists

a

2

atoms dom

f

. So

h

f

i

a

=

/ 0

F

(

B

)

thus it exists

b

2

atoms

h

f

i

a

. Finally the atomic

funcoid

a

FCD

b

v

f

.

Theorem 6.85.

The lattice

FCD

(

A

;

B

)

is separable (for every sets

A

,

B

).

Proof.

Let

f ; g

2

FCD

(

A

;

B

)

,

f

@

g

. Then there exists

a

2

atoms

F

(

A

)

such that

h

f

i

a

@

h

g

i

a

. So

because the lattice

F

(

B

)

is atomically separable, there exists

b

2

atoms

F

(

B

)

such that

h

f

i

a

u

b

=

0

F

(

B

)

and

b

v h

g

i

a

. For every

x

2

atoms

F

(

A

)

h

f

i

a

u h

a

FCD

b

i

a

=

h

f

i

a

u

b

= 0

F

(

B

)

;

x

=

/

a

) h

f

i

x

u h

a

FCD

b

i

x

=

h

f

i

x

u

0

F

(

B

)

= 0

F

(

B

)

:

Thus

h

f

i

x

u h

a

FCD

b

i

x

= 0

F

(

B

)

and consequently

f

a

FCD

b

.

h

a

FCD

b

i

a

=

b

v h

g

i

a;

x

=

/

a

) h

a

FCD

b

i

x

= 0

F

(

B

)

v h

g

i

x:

Thus

h

a

FCD

b

i

x

v h

g

i

x

and consequently

a

FCD

b

v

g

.

So the lattice

FCD

(

A

;

B

)

is separable by the theorem

3.14

.

Corollary 6.86.

The lattice

FCD

(

A

;

B

)

is:

1. separable;
2. atomically separable;
3. conforming to Wallman's disjunction property.

6.10 Atomic funcoids

109