background image

Proof.

f

u

¡

FCD

1

F

(

Dst

f

)

=

id

1

F

(

Dst

f

)

FCD

f

id

A

FCD

=

f

id

A

FCD

=

f

j

A

.

Corollary 6.77.

f

/

FCD

B , A

[

f

]

B

for every funcoid

f

,

A 2

F

(

Src

f

)

,

B 2

(

Dst

f

)

.

Proof.

f

/

FCD

B , h

f

u

(

FCD

B

)

i

(

Src

f

) =

/ 0

F

(

Dst

f

)

, h

id

B

FCD

f

id

A

FCD

i

(

Src

f

) =

/

0

F

(

Dst

f

)

, h

id

B

FCD

ih

f

ih

id

A

FCD

i

1

F

(

Src

f

)

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

, B u h

f

i

¡

A u

1

F

(

Src

f

)

=

/ 0

F

(

Dst

f

)

, B u h

f

iA

=

/

0

F

(

Dst

f

)

, A

[

f

]

B

.

Corollary 6.78.

Every ltrator of funcoids is star-separable.

Proof.

The set of funcoidal products of principal lters is a separation subset of the lattice of

funcoids.

Theorem 6.79.

Let

A

,

B

be sets. If

S

2

P

(

F

(

A

)

F

(

B

))

then

l

fA 

FCD

B j

(

A

;

B

)

2

S

g

=

l

dom

S

FCD

l

im

S:

Proof.

If

x

2

atoms

F

(

A

)

then by theorem

6.68

l

fA 

FCD

B j

(

A

;

B

)

2

S

g

x

=

l

fhA 

FCD

Bi

x

j

(

A

;

B

)

2

S

g

:

If

x

/

d

dom

S

then

8

(

A

;

B

)

2

S

:

¡

x

u A

=

/ 0

F

(

A

)

^ hA 

FCD

Bi

x

=

B

;

fhA 

FCD

Bi

x

j

(

A

;

B

)

2

S

g

=

im

S

;

if

x

d

dom

S

then

9

(

A

;

B

)

2

S

:

¡

x

u A

= 0

F

(

A

)

^ hA 

FCD

Bi

x

= 0

F

(

B

)

;

fhA 

FCD

Bi

x

j

(

A

;

B

)

2

S

g 3

0

F

(

B

)

:

So

l

fA 

FCD

B j

(

A

;

B

)

2

S

g

x

=

(

d

im

S

if

x

/

d

dom

S

0

F

(

B

)

if

x

d

dom

S:

From this the statement of the theorem follows.

Corollary 6.80.

For every

A

0

;

A

1

2

F

(

A

)

,

B

0

;

B

1

2

F

(

B

)

(for every sets

A

,

B

)

(

A

0

FCD

B

0

)

u

(

A

1

FCD

B

1

) = (

A

0

u A

1

)

FCD

(

B

0

u B

1

)

:

Proof.

(

A

0

FCD

B

0

)

u

(

A

1

FCD

B

1

) =

d

fA

0

FCD

B

0

;

A

1

FCD

B

1

g

what is by the last theorem

equal to

(

A

0

u A

1

)

FCD

(

B

0

u B

1

)

.

Theorem 6.81.

If

A

,

B

are sets and

A 2

F

(

A

)

then

FCD

is a complete homomorphism from

the lattice

F

(

B

)

to the lattice

FCD

(

A

;

B

)

, if also

A

=

/ 0

F

(

A

)

then it is an order embedding.

Proof.

Let

S

2

P

F

(

B

)

,

X

2

P

A

,

x

2

atoms

F

(

A

)

.

G

hA 

FCD

i

S

X

=

G

fhA 

FCD

Bi

X

j B 2

S

g

=

( F

S

if

X

2

@

A

0

F

(

B

)

if

X

2

/

@

A

=

FCD

G

S

X

;

l

hA 

FCD

i

S

x

=

l

fhA 

FCD

Bi

x

j B 2

S

g

=

(

d

S

if

x

/

A

0

F

(

B

)

if

x

 A

=

FCD

l

S

x:

108

Funcoids